| Год | Фактический уровень урожайности | Скользящая средняя | |
| трехлетняя | пятилетняя | ||
| 15,4 | _ | — | |
| 14,0 | 15,4+14,0 + 17,6 | - | |
| 3 = 15.7 | |||
| 17,6 | 14,0 + 17,6 + 15,4 | 14,7 | |
| 3 =15,7 | |||
| 15,4 | 17,6 + 15,4 + 10,9 | 15,1 | |
| 3 =14,6 | |||
| 10,9 | 14,6 | 15,2 | |
| 17,5 | 14,5 | 17,1 | |
| 15,0 | 17,0 | 16,8 | |
| 18,5 | 15,9 | 17,6 | |
| 14,2 | 15,9 | - | |
| 14,9 | - | — | |
| Итого:∑ у = 153,4 |
Сглаженный ряд урожайности по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям — на два члена в начале и конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из-за случайных причин и четче, в виде некоторой плавной линии на графике (рис. 7.4), выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и условий развития.
Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а следовательно, потеря информации.
Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.
Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.
Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:
уt = f(t),
где уt — уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.
Определение теоретических (расчетных) уровней уt производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.
Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).
Например, простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:
линейная функция — прямая уt = а0 + а1t где а0, а1- параметры уравнения; t — время;
показательная функция уt = а 0 а t,;
степенная функция — кривая второго порядка (парабола)
уt = ао + а1t + а2t.
В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, модели тренда для прогнозирования), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.
Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпиричесими уровнями:
где уt - выравненные (расчетные) уровни; уi- фактические уровни.
Параметры уравнения а1, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни. Таким образом, уt, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.
Выравнивание по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).
Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.
Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой: уt = ао + а1t Параметры а0, а1 согласно методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных
методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования условия (7.17):
(7.18)
где у — фактические (эмпирические) уровни ряда; t— время (порядковый номер периода или момента времени).
Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t=0) принять центральный интервал (момент).
При четном числе уровней (например, 6), значения t — условного обозначения времени будут такими (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):
1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.
-5 -3 -1 +1 +3 +5
При нечетном числе уровней (например, 7) значения устанавливаются по-другому:
1989 г. 1990 г. 1991 г 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.
-3. -2 -1 0 +1 +2 +3
В обоих случаях ^ t = 0, так что система нормальных уравнений (7.18) принимает вид:
Из первого уравнения а0 = — —
Из второго уравнения:
