Условие пластичности
Отыскание напряженного состояния в точке тела без учета свойств этого тела еще не позволяет судить о наличии пластического формоизменения. Учитывать свойства материала пластически деформируемого тела можно при помощи физических уравнений, а именно уравнения пластичности определяющего условие перехода материала из упругого состояния в пластическое или условие предельного состояния.
При одноосном растяжении пластическое состояние наступает, когда нормальное напряжение достигает предела текучести
При объемном напряженном состоянии, наиболее часто встречающимся в процессах ОМД, начало пластического течения будет при определенном соотношении между 
и главными нормальными напряжениями.
Согласно гипотезе Сен-Венана-Треска пластическая деформация наступает тогда, когда одно из главных касательных напряжений достигнет половины предела текучести независимо от схемы напряженного состояния, т.е. когда 
.
При 
, 
.
Тогда 
(при главных напряжениях одного знака)
или
(при главных напряжениях разного знака)
Два других 
, 
уравнения также справедливыы. Здесь (+) – растяжение, (-) – сжатие.
Однако условие максимального касательного напряжения не учитывает влияния третьего главного напряжения 
.
Губер, Мизес, а позднее Генки сформулировали другое (энергетическое) условие пластичности, которое трактуется так: пластическая деформация начинается тогда, когда потенциальная энергия упругого изменения формы достигнет определенной величины, независимо от вида напряженного состояния.
Полная потенциальная энергия деформации
(1)
где 
- потенциальная энергия упругого изменения объема;
- потенциальная энергия упругого изменения формы.
Из теории упругости известно
или
. (2)
В свою очередь
где 
- коэффициент Пуассона, выражающий отношение поперечной деформации к продольной 
;
Е – модуль упругости 1-го рода (размерность напряжений).
или
, (3)
где 
.
Подставляя значения 
соответственно в (2) и (3) и далее полученные значения и 
в (1), запишем
При линейном напряженном состоянии 
пластическая деформация наступит когда 
. Тогда 
.
Поскольку сформулированное условие пластичности не зависит от вида напряженного состояния 
.
Тогда
(4)
Выразив через главные касательные напряжения, запишем
.
В произвольных осях координат
Учитывая, что
,
легко установить
Пластическая деформация наступит тогда, когда интенсивность напряжений достигнет величины, равной пределу текучести.
Таким образом условие пластичности Губера-Мизеса-Генки называют условием постоянства интенсивности напряжений.
Учитывая, что
можно записать, что пластическая деформация наступит при
.
Здесь k– сопротивление металла пластическому сдвигу или пластическая постоянная, т.е. максимальная величина, которой может достичь главное касательное напряжение при пластической деформации.
.
Откуда 
- обычно называемая вынужденным пределом текучести.
Записанные уравнения пластичности пригодны лишь для идеально-пластических сред, т.е. неупрочняемых, в то время как в большинстве случаев деформация протекает с упрочнением. Учет этого обстоятельства сводится к тому, что вместо предела текучести 
необходимо использовать другую характеристику материала 
- напряжение текучести. Тогда выражение (4) можно записать
Геометрический смысл энергетического условия пластичности
Он становится очевидным, если в уравнении (40 рассматривать напряжения 
как текущие координаты. В этих координатах уравнение (4) представляет собой поверхность неограниченного по длине кругового цилиндра радиусом 
с осью, равнонаклоненной к осям координат под углом, косинус которого равен 
.
При линейном напряженном состоянии 
a 
т.к. 
Если комбинации главных напряжений в деформируемом элементе отвечают точке (в), лежащей на поверхности цилиндра, то этот элемент находится в пластическом состоянии, а точке, лежащей внутри цилиндра отвечает упругое состояние элемента. Окружность на поверхности цилиндра от пересечения его с плоскостью, перпендикулярной гидростатической оси, представляет геометрическое место точек напряженных состояний с одинаковым шаровым тензором 
.
Плоскость, проходящая через начало координат и ортогональная гидростатической, оси называется девиаторной и на окружности С поэтому 
. Образующая цилиндра, например, (в) является геометрическим местом точек, для которых разности главных напряжений одинаковы, т.е. 
. Геометрическая интерпретация условия Треска-Сен-Венана представляет собой правильную шестигранную призму, вписанную в цилиндр.
