Вариограммы и ковариационные функции

Функции вариограммы и ковариации (известные также как структурные функции) количественно характеризуют предположение о том, что чем ближе точки расположены друг к другу, тем они более похожи. И вариограмма, и ковариация определяют меру статистической корреляции как функцию расстояния.

Вариограмма определяется следующим образом,

g(s i, s j) = Ѕ var(Z (s i) % Z (s j)),

где var % дисперсия.

Если две точки si и sj расположены близко друг к другу, и эта близость определяется расстоянием d(si, sj), ожидается, что эти точки будут похожи, и разность их значений, Z(s i) % Z(s j), будет маленькой. По мере удаления друг от друга точек si и sj, они становятся все менее похожи друг на друга, и следовательно разность их значений, Z(si) % Z(s j), будет расти. Это можно увидеть на следующем рисунке, который показывает анатомию типичной вариограммы.

Обратите внимание, что дисперсия разности возрастает с расстоянием, поэтому вариограмму можно рассматривать как функцию различия. Существует несколько терминов, часто ассоциирующихся с этой функцией, и они также используются в модуле Geostatistical Analyst. Значение (высота графика), начиная с которого вариограмма выравнивается, носит название порога. Оно часто состоит из двух частей: разрыва в начале графика, который носит название эффекта самородка, и частичного порога, которые вместе и образуют порог. Эффект самородка далее может быть разделен на ошибку измерений и вариацию на микроуровне, и в силу того, что любой из этих компонентов может быть равен нулю, эффект

самородка может быть отнесен целиком за счет одного из них. Расстояние, при котором вариограмма выравнивается до значения порога, носит название радиуса влияния.

Ковариационная функция определяется следующим образом:

C (s i, s j) = cov(Z (s i), Z (s j)),

где cov % ковариация.

Ковариация - это масштабируемая версия корреляции. Следовательно, когда две точки, si и sj, расположены поблизости, и предполагается, что они имеют сходные значения, значения их ковариации (корреляции) будут большими. По мере того, как si и sj удаляются друг от друга, они становятся все менее похожи, и их ковариация стремится к нулю. Это можно увидеть на следующем рисунке, который показывает анатомию типичной ковариационной функции.__

Обратите внимание, что функция ковариации уменьшается с расстоянием, поэтому ее можно рассматривать как функцию сходства. Между вариограммой и ковариационной функцией существует связь, которая может быть выражена, как

g(s i, s j) = порог % C (s i, s j), и эту связь можно увидеть по рисункам. Поскольку эти функции

равноценны, в модуле Geostatistical Analyst при выполнении интерполяции вы можете использовать любую из них. (Напомним, что все вариограммы в модуле Geostatistical Analyst имеют значение порога.)

Вариограммы и ковариации не могут быть просто какимито функциями. Для того, чтобы интерполяция имела неотрицательные стандартные ошибки кригинга, только некоторые функции могут быть использованы в качестве ковариационной или функции вариограммы. Модуль Geostatistical Analyst предлагает несколько функций, которые вы можете применить для анализа данных. Вы можете также воспользоваться моделями, составленными из нескольких—такая конструкция часто дает более достоверные модели (в модуле Geostatistical Analyst возможно составить комбинацию из не более, чем четырех функций). В некоторых случаях бывает так, что вариограммы есть, а ковариационных функций нет. Например, существует линейная вариограмма, но у нее нет порога, и, следовательно, нет соответствующей ковариационной функции. В модуле Geostatistical Analyst используются только модели с порогами. Не существует правил, которые без труда и быстро позволили бы вам выбрать “лучшую” модель вариограммы. Чаще всего вы подбираете модель для эмпирической вариограммы или ковариационной функции визуально. В качестве помощников вы можете использовать проверку или перекрестную проверку.