Все формулы по алгебре и геометрии
Формулы сокращенного умножения
1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a+b)2=a2+2ab+b2
2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a-b)2=a2-2ab+b2
3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a2-b2
4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
Формулы сокр. умножения и разложения на множители:
(a± b)² =a² ± 2ab+b²
(a± b)³ =a³ ± 3a² b+3ab² ± b³
a² -b² =(a+b)(a-b)
a³ ± b³ =(a± b)(a² ∓ab+b²),
(a+b)³ =a³ +b³ +3ab(a+b)
(a-b)³ =a³ -b³ -3ab(a-b)
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a² xn-3+...+an-1)
ax² +bx+c=a(x-x1)(x-x2)
где x1 и x2 — корни уравнения
ax² +bx+c=0
Степени и корни:
ap· ag = ap+g
ap:ag=a p-g
(ap)g=a pg
ap /bp = (a/b)p
ap× bp = abp
a0=1; a1=a
a-p = 1/a
pÖ a =b => bp=a
pÖ apÖ b = pÖ ab
Ö a; a = 0
Квадратное уравнение
ax² +bx+c=0; (a¹ 0)
x1,2= (-b± Ö D)/2a; D=b² -4ac
D>0® x1¹ x2;D=0® x1=x2
D<0, корней нет.
Теорема Виета:
x1+x2 = -b/a
x1× x2 = c/a
Приведенное кв. Уравнение:
x² + px+q =0
x1+x2 = -p
x1× x2 = q
Если p=2k (p-четн.)
и x² +2kx+q=0, то x1,2 = -k± Ö (k² -q)
Нахождение длинны отр-ка по его координатам
Ö ((x2-x1)² -(y2-y1)²)
Логарифмы:
loga x = b => ab = x; a>0,a¹ 0
a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0
loga x = b; x = ab
loga b = 1/(log b a)
logaxy = logax + loga y
loga x/y = loga x - loga y
loga xk =k loga x (x >0)
logak x =1/k loga x
loga x = (logc x)/(logca); c>0,c¹ 1
logbx = (logax)/(logab)
Прогрессии
Арифметическая
an = a1 +d(n-1)
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n
Геометрическая
bn = bn-1 × q
b2n = bn-1× bn+1
bn = b1× qn-1
Sn = b1 (1- qn)/(1-q)
S= b1/(1-q)
Тригонометрия.
sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (p -a) = sin a
sin (p /2 -a) = cos a
cos (p /2 -a) = sin a
cos (a + 2p k) = cos a
sin (a + 2p k) = sin a
tg (a + p k) = tg a
ctg (a + p k) = ctg a
sin² a + cos² a =1
ctg a = cosa / sina, a ¹ p n, nÎ Z
tga × ctga = 1, a ¹ (p n)/2, nÎ Z
1+tg² a = 1/cos² a, a ¹ p (2n+1)/2
1+ ctg² a =1/sin² a, a ¹ p n
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y)
x, y, x + y ¹ p /2 + p n
tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x - y ¹ p /2 + p n
Формулы двойного аргумента.
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cos² a - sin² a = 2 cos² a - 1 =
= 1-2 sin² a
tg 2a = (2 tga)/ (1-tg² a)
1+ cos a = 2 cos² a /2
1-cosa = 2 sin² a /2
tga = (2 tg (a /2))/(1-tg² (a /2))
Ф-лы половинного аргумента.
sin² a /2 = (1 - cos a)/2
cos² a /2 = (1 + cosa)/2
tg a /2 = sina /(1 + cosa) = (1-cos a)/sin a
a ¹ p + 2p n, n Î Z
Ф-лы преобразования суммы в произв.
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2
Формулы преобр. произв. в сумму
sin x sin y = ½ (cos (x-y) - cos (x+y))
cos x cos y = ½ (cos (x-y)+ cos (x+y))
sin x cos y = ½ (sin (x-y)+ sin (x+y))
Соотношение между функциями
sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)
cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg² x/2)
sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)
sin² a = 1/(1+ctg² a) = tg² a /(1+tg² a)
cos² a = 1/(1+tg² a) = ctg² a / (1+ctg² a)
ctg2a = (ctg² a -1)/ 2ctga
sin3a = 3sina -4sin³ a = 3cos² a sina -sin³ a
cos3a = 4cos³ a -3 cosa= cos³ a -3cosa sin² a
tg3a = (3tga -tg³ a)/(1-3tg² a)
ctg3a = (ctg³ a -3ctga)/(3ctg² a -1)
sin a /2 = ± Ö ((1-cosa)/2)
cos a /2 = ± Ö ((1+cosa)/2)
tga /2 = ± Ö ((1-cosa)/(1+cosa))=
sina /(1+cosa)=(1-cosa)/sina
ctga /2 = ± Ö ((1+cosa)/(1-cosa))=
sina /(1-cosa)= (1+cosa)/sina
sin(arcsin a) = a
cos(arccos a) = a
tg (arctg a) = a
ctg (arcctg a) = a
arcsin (sina) = a; a Î [-p /2; p /2]
arccos(cos a) = a; a Î [0; p ]
arctg (tg a) = a; a Î [-p /2; p /2]
arcctg (ctg a) = a; a Î [ 0; p ]
arcsin(sina)=
1)a - 2p k; a Î [-p /2 +2p k;p /2+2p k]
2) (2k+1)p - a; a Î [p /2+2p k;3p /2+2p k]
arccos (cosa) =
1) a -2p k; a Î [2p k;(2k+1)p ]
2) 2p k-a; a Î [(2k-1)p; 2p k]
arctg(tga)= a -p k
a Î (-p /2 +p k;p /2+p k)
arcctg(ctga) = a -p k
a Î (p k; (k+1)p)
arcsina = -arcsin (-a)= p /2-arccosa =
= arctg a /Ö (1-a ²)
arccosa = p -arccos(-a)=p /2-arcsin a =
= arc ctga /Ö (1-a ²)
arctga =-arctg(-a) = p /2 -arcctga =
= arcsin a /Ö (1+a ²)
arc ctg a = p -arc cctg(-a) =
= arc cos a /Ö (1-a ²)
arctg a = arc ctg1/a =
= arcsin a /Ö (1+a ²)= arccos1/Ö (1+a ²)
arcsin a + arccos = p /2
arcctg a + arctga = p /2
