Теоретические сведения
Алгебра высказываний
Современная математическая логика представляет собой обширную научную область, которая находит широкое применение как внутри математики. Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.
Под высказыванием (суждением) понимается повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.
Обозначать высказывания будем большими буквами. Если высказывание А истинное, то будем писать «А = 1» и говорить: «А – истинно». Если высказывание Х ложно, то будем писать «Х = 0» и говорить «Х – ложно».
Основные логические операции
1. Логическое отрицание (инверсия) – образуется из исходного высказывания с помощью добавления частицы НЕ к сказуемому или использованием оборота речи «неверно, что...». Инверсия обозначается: не А; А; not А; Ā.
2. Логическое умножение (конъюнкция) - это сложное выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Конъюнкция образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И». Конъюнкция обозначается: ˄;&;*;and;и.
3. Логическое сложение (дизъюнкция)– это сложное выражение будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений в одно с помощью союза ИЛИ.
4. Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «ЕСЛИ…,ТО…».
5. Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…». Эквивалентность обозначается: А = В; А ~ В.
Логические переменные, функции алгебры логики
Логические переменные были введены впервые вначале прошлого столетия английским математиком Д. Булем, предложившим своеобразную алгебру, которая оперирует с высказываниями и которая получила в дальнейшем название булевой алгебры.
Пусть имеется n двоичных переменных x1,x2, … xn, так, что каждая из них может принимать любое из значений 0 или 1. Назовём двоичным набором (x1,x2, … xn) совокупность зафиксированных значений переменных.
Функцией алгебры логики (булевой функцией) п аргументов мы будем называть функцию, определённую на множестве всевозможных наборов значений двоичных переменных ( x1,x2, … xn), принимающую значение 0 либо 1.
Для того, чтобы задать функцию алгебры логики от п переменных, нужно указать её значение для каждого из 2n наборов значений аргументов, которые образуют область определения булевой функции. Очень часто это делается в виде таблицы с 2n строками.
Так как каждому набору аргументов ( x1,x2, … xn) может быть сопоставлено только два значения функции 0 или 1, то число различных булевых функций, зависящих от n аргументов, равно 2n.
Две булевых функции f(x1,x2,...,xn) и g(x1, x2,...,xn) называются равными, если на всех возможных наборах значений аргументов они принимают одинаковые значения, т.е.
f(x1,x2,...,xn) = g(x1, x2,...,xn).
Приложения алгебры логики в технике
Среди технических средств автоматизации значительное место занимают устройства релейно-контактного действия (РКС). Они широко используются в автоматическом управлении, в электронно-вычислительной технике и т.д. Описание и конструирование таких схем в силу их громоздкости весьма затруднительно.
Описание комбинационных схем
Под переключательной схемой понимают схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из следующих элементов:
1) переключателей, которыми могут быть механические действующие устройства (выключатели, переключающие ключи, кнопочные устройства и т.д.), электромагнитные реле, электронные лампы, полупроводниковые элементы и т.п.;
2) соединяющих проводников;
3) входов в схему и выходов из неё (клемм, на которые подаётся электрическое напряжение). Они называются полюсами схемы.
Сопротивления, конденсаторы и т.д. на схемах не изображаются. Переключательной схемой принимается в расчёт только два состояния каждого переключателя, которые называют «замкнутым» и «разомкнутым».
