Стандартная схема статистического моделирования

Им. Д. Ф. УСТИНОВА

Кафедра И3

 

 

КУРСОВАЯ работа

по учебной дисциплине: Стохастические системы управления

 

на тему: Сокращение трудоемкости статистического моделирования

 

 

студента: Шпилевского Сергея Сергеевича

 

группы И381

	ПРЕПОДАВАТЕЛЬ   Королев С.Н. / ______________ / Подпись   “___" _________________ 2012 г.

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2012 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………………..3

1. Аналитическое решение………………………………………………………..4

2. Стандартная схема статистического моделирования………………………...6

3. Комбинированный метод получения оценки…………………………………8

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………..12

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………………………13

Приложение А ……………………………………………………………….........14

Приложение Б ……………………………………………………………….........15

ВВЕДЕНИЕ

Требуется определить математическое ожидание выходного сигнала X неустойчивого апериодического звена в заданный момент времени T. Модель звена:

, ,

содержит случайные параметры с равномерным законом распределения в заданных интервалах.

Допустимая абсолютная погрешность .

Задачу решить тремя способами:

- используя стандартную схему статистического моделирования;

- используя рациональную схему статистического моделирования с применением комбинированного метода сокращения трудоемкости;

- аналитически.

Результаты аналитического решения использовать для проверки результатов статистического моделирования и для обоснования построения рациональной схемы моделирования.

При использовании рациональной схемы статистического моделирования обеспечить снижение требуемого количества опытов по сравнению со стандартной схемой не менее чем в 10 раз.

Исходные данные:

;

;

;

;

.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Аналитическое решение

Для того, чтобы аналитически найти математическое ожидание, было решено дифференциальное уравнение вида:

, , (1)

где A – случайный параметр, распределенный по равномерному закону на интервале [ ];

k – случайный параметр, распределенный по равномерному закону на интервале [ ].

 

Сначала нашли решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

Подставив полученное решение однородного дифференциального уравнения (1):

С ₁ из условия X (0) = A:

В результате получили:

Решение исходного дифференциального уравнения (1) имеет вид:

. (2)

Математическое ожидание выходного процесса определялось с учетом решения (2) [1]:

(3)

 

Для нахождения требуемого количества опытов, проверки результатов статистического моделирования и обоснования построения рациональной схемы моделирования была посчитана дисперсия [1]:

 

(4)

Используя полученное аналитически значение дисперсии оценили требуемое количество опытов [1]:

, (5)

где параметр принят равным 3 (при доверительной вероятности Р_д =0,997).

Подставив в формулу (5) значение, полученное по формуле (4), получили требуемое количество опытов 20880.

Стандартная схема статистического моделирования

Если трудоемкость эксперимента имеет существенное значение, применяются итерационные алгоритмы получения оценок [1]. Идея итерационных алгоритмов состоит в том, что определение точности и требуемого количества опытов проводится в ходе эксперимента на основе получаемых оценок искомых параметров.

Блок-схема типового итерационного алгоритма приведена на рисунке 1.

 

Рисунок 1 - Блок-схема итерационного алгоритма

 

Для задачи оценки математического ожидания случайной величины x предусматривается:

1. Проведение начальной серии опытов объемом n и накопление сумм

 

,

 

где - реализация случайной величины x в отдельных опытах.

2. Вычисление оценок математического ожидания и дисперсии :

 

 

, (6)

. (7)

 

 

3. Получение оценки требуемого количества опытов:

 

. (8)

 

4. Проведение дополнительной серии опытов объемом и накопление сумм:

 

, .

 

5. Уточнение оценок математического ожидания m^*_x и дисперсии D^*_x:

 

, (9)

. (10)

 

Провели начальную серию опытов n = 200. Вычислили оценки математического ожидания и дисперсии по (6) и (7): Получили оценку требуемого количества опытов по (8):

Проверили выполнение условия . Так как , то провели дополнительную серию опытов Уточнили оценки математического ожидания и дисперсии по (9) и (10): Тогда оценка требуемого количества опытов получилась:

Проверили выполнение условия . Так как 21165>20848, условие выполнилось, следовательно, алгоритм завершил работу.

Окончательные результаты:

При решении поставленной задачи численное интегрирование исходного уравнения проводилось на ЭВМ в среде Matlab7 [2]. При этом значения случайных параметров уравнения получались с помощью встроенной функции unifrnd. Текст программы, проводящей данные вычисления, представлен в приложении А.