Им. Д. Ф. УСТИНОВА
|
КУРСОВАЯ работа
по учебной дисциплине: Стохастические системы управления
на тему: Сокращение трудоемкости статистического моделирования
студента: Шпилевского Сергея Сергеевича
группы И381
|
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2012 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………………………………..3
1. Аналитическое решение………………………………………………………..4
2. Стандартная схема статистического моделирования………………………...6
3. Комбинированный метод получения оценки…………………………………8
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………..12
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………………………13
Приложение А ……………………………………………………………….........14
Приложение Б ……………………………………………………………….........15
ВВЕДЕНИЕ
Требуется определить математическое ожидание выходного сигнала X неустойчивого апериодического звена в заданный момент времени T. Модель звена:
, 
, 
содержит случайные параметры с равномерным законом распределения в заданных интервалах.
Допустимая абсолютная погрешность 
.
Задачу решить тремя способами:
- используя стандартную схему статистического моделирования;
- используя рациональную схему статистического моделирования с применением комбинированного метода сокращения трудоемкости;
- аналитически.
Результаты аналитического решения использовать для проверки результатов статистического моделирования и для обоснования построения рациональной схемы моделирования.
При использовании рациональной схемы статистического моделирования обеспечить снижение требуемого количества опытов по сравнению со стандартной схемой не менее чем в 10 раз.
Исходные данные:
;
;
;
;
.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Аналитическое решение
Для того, чтобы аналитически найти математическое ожидание, было решено дифференциальное уравнение вида:
, 
, (1)
где A – случайный параметр, распределенный по равномерному закону на интервале [ 
];
k – случайный параметр, распределенный по равномерному закону на интервале [ 
].
Сначала нашли решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:
Подставив полученное решение однородного дифференциального уравнения (1):
С 1 из условия X (0) = A:
В результате получили:
Решение исходного дифференциального уравнения (1) имеет вид:
. (2)
Математическое ожидание 
выходного процесса определялось с учетом решения (2) [1]:
(3)
Для нахождения требуемого количества опытов, проверки результатов статистического моделирования и обоснования построения рациональной схемы моделирования была посчитана дисперсия 
[1]:
(4)
Используя полученное аналитически значение дисперсии оценили требуемое количество опытов [1]:
, (5)
где параметр 
принят равным 3 (при доверительной вероятности Рд =0,997).
Подставив в формулу (5) значение, полученное по формуле (4), получили требуемое количество опытов 20880.
Стандартная схема статистического моделирования
Если трудоемкость эксперимента имеет существенное значение, применяются итерационные алгоритмы получения оценок [1]. Идея итерационных алгоритмов состоит в том, что определение точности и требуемого количества опытов проводится в ходе эксперимента на основе получаемых оценок искомых параметров.
Блок-схема типового итерационного алгоритма приведена на рисунке 1.
Рисунок 1 - Блок-схема итерационного алгоритма
Для задачи оценки математического ожидания случайной величины x предусматривается:
1. Проведение начальной серии опытов объемом n и накопление сумм
,
где 
- реализация случайной величины x в отдельных опытах.
2. Вычисление оценок математического ожидания 
и дисперсии 
:
, (6)
. (7)
3. Получение оценки требуемого количества опытов:
. (8)
4. Проведение дополнительной серии опытов объемом 
и накопление сумм:
, 
.
5. Уточнение оценок математического ожидания m*x и дисперсии D*x:
, (9)
. (10)
Провели начальную серию опытов n = 200. Вычислили оценки математического ожидания и дисперсии по (6) и (7): 
Получили оценку требуемого количества опытов по (8): 
Проверили выполнение условия 
. Так как 
, то провели дополнительную серию опытов 
Уточнили оценки математического ожидания и дисперсии по (9) и (10): 
Тогда оценка требуемого количества опытов получилась: 
Проверили выполнение условия . Так как 21165>20848, условие выполнилось, следовательно, алгоритм завершил работу.
Окончательные результаты:
При решении поставленной задачи численное интегрирование исходного уравнения проводилось на ЭВМ в среде Matlab7 [2]. При этом значения случайных параметров уравнения получались с помощью встроенной функции unifrnd. Текст программы, проводящей данные вычисления, представлен в приложении А.
