Построение комплексной оценки по матрице потерь

Пусть имеется n проектов каждый из которых характеризуется m параметрами (критериями), позволяющими оценивать степень его соответствия квалификационным. Тогда исходные данные для задачи могут быть заданы в виде матрицы

Фактическое определение элементов матрицы D достаточно просто: каждый проект оценивается по качественному критерию в бальной шкале (наиболее удобной является десятибалльная шкала).

Учитывая, что в составе показателей все – таки может присутствовать измеряемые в неких физических единицах критерии, необходимо провести предварительную нормировку показателей. Для этих целей наилучшим образом подойдет нормировка вида:

для показателей ориентированных на максимум, то есть чем больше показатель тем лучше

,

для показателей ориентированных на минимум, то есть чем меньше показатель тем лучше

,

где - минимально возможное и максимально возможные значения показателей; - нормированное значение показателя .

Данная нормировка позволяет свести все показатели к диапазону изменения от 0 до 1 и привести все показатели к одному типу, то есть к показателям, ориентированным на максимум. Это дает возможность легко построить вектор идеального проекта. Компоненты этого вектора находятся в общем случае по формуле

.

Учитывая, что согласно условиям нормировки самое лучшее значение, принимаемое любым показателем равно 1, получаем, что все компоненты вектора идеального проекта, будут равны 1, то есть .

Используя матрицу нормированных исходных данных, строим вспомогательную матрицу , по следующему правилу: произвольный элемент матрицы есть значение i-го показателя, если выбирается проект, лучший по j-ому показателю. На основе вспомогательной матрицы и вектора идеального пронета, строится матрица потерь

Матрица потерь будет характеризовать потери при выборе конкретного проекта.

Для построения интегральной оценки каждого проекта необходимо получить весовые коэффициенты каждого из критериев. Это можно сделать используя идею о том, что весовые коэффициенты должны быть функциями от матрицы потерь. Для этого можно использовать соотношение вида и нормировочное соотношение для весовых коэффициентов .

Определив значимость показателей, находим рейтинг каждого проекта, умножив значение показателя на его значимость.

Рассмотрим применение этого алгоритма на примере. Необходимо отобрать 6 проектов. Каждый проект оценивается по 5 критериям: уровень рентабельность, надежность, средняя зарплата и имеющийся задел. Данные о проектах представлены в табл. 4.2.1.

С целью возможности сопоставления несопоставимых параметров, приведем все оценки к безразмерному виду и пронормируем их. Для этой цели используем следующую формулу:

для показателей ориентированных на максимум, то есть чем больше показатель тем лучше

,

для показателей ориентированных на минимум, то есть чем меньше показатель тем лучше

Таблица 4.2.1. Данные о проектах

Проект	Рентаб., %	Надежн.	Ср. з/п	Задел
		0,9
		0,89
		0,91
		0,9
		0,89
		0,92
		0,87
		0,88
		0,86
		0,9
		0,89
		0,91
		0,96
		0,91
		0,93
		0,9
		0,94
		0,95
		0,95
		0,92

 

,

где - минимально возможное и максимально возможные значения показателей; - нормированное значение показателя .

Пронормированные данные приведены в табл. 4.2.2. Здесь уже учтено, что показатель уровня заработной платы относится к типу, чем меньше, тем лучше.

Учитывая, что согласно условиям нормировки самое лучшее значение, принимаемое любым показателем равно 1, получаем, что все компоненты вектора идеального соответствия требованиям, предъявляемым к исполнителю, будут равны 1, то есть .

Таблица 4.2.2. Пронормированные данные.

Проект	Рентаб., %	Надежн.	Ср. з/п	Задел
		0,40	0,77	0,83
		0,30	0,92	0,67
		0,50	0,69	0,83
		0,40	0,77	0,67
	0,43	0,30	0,69	1,00
	0,43	0,60	1,00	0,83
	0,43	0,10	0,92	0,50
	0,43	0,20	0,77	0,67
	0,43	0,00	0,77	0,17
	0,71	0,40	0,46	0,00
	0,71	0,30	0,54	0,17
	0,71	0,50	0,62	0,00
	0,71	1,00	0,62	0,17
	0,71	0,50	0,46	0,00
		0,70	0,00	0,00
		0,40	0,46	0,00
		0,80	0,38	0,00
		0,90	0,23	0,00
		0,90	0,15	0,00
		0,60	0,54	0,00

 

Используя матрицу нормированных исходных данных, строим вспомогательную матрицу , по следующему правилу: произвольный элемент матрицы есть значение i-го показателя, если выбирается исполнитель, лучший по j-ому показателю.

 

	I	II	III	IV
I		0,71	0,43	0,43
II	0,9		0,6	0,3
III	0,54	0,62		0,69
IV		0,17	0,83

 

На основе вспомогательной матрицы и вектора идеального соответствия требованиям, предъявляемым к исполнителю, строится матрица потерь

	I	II	III	IV
I		0,29	0,57	0,57
II	0,1		0,4	0,7
III	0,36	0,38		0,31
IV		0,83	0,17

 

Для построения интегральной оценки каждого из специалистов необходимо получить весовые коэффициенты каждого из критериев. Это можно сделать используя идею о том, что весовые коэффициенты должны быть функциями от матрицы потерь. Для этого можно использовать соотношение вида и нормировочное соотношение для весовых коэффициентов .

Для решения поставленной задачи придадим параметру i произвольное значение и будем менять значение индекса j от 1 до n в нашем случае до четырех. В итоге получим следующую систему алгебраических уравнений:

(4.2.1)

Решая систему (4.2.1) получаем

.

Определив значимость показателей, находим рейтинг каждого специалиста, умножив значение показателя на его значимость. Результат представлен в табл. 4.2.3.

Таблица 4.2.3. Рейтинг проектов

Проект	Рентаб., %	Надежн.	Ср. з/п	Задел	Рейтинг проекта
Значимость	0,23	0,3	0,17	0,3
		0,40	0,77	0,83	0,4999
		0,30	0,92	0,67	0,4474
		0,50	0,69	0,83	0,5163
		0,40	0,77	0,67	0,4519
	0,43	0,30	0,69	1,00	0,6062
	0,43	0,60	1,00	0,83	0,6979
	0,43	0,10	0,92	0,50	0,4353
	0,43	0,20	0,77	0,67	0,4908
	0,43	0,00	0,77	0,17	0,2808
	0,71	0,40	0,46	0,00	0,3615
	0,71	0,30	0,54	0,17	0,3961
	0,71	0,50	0,62	0,00	0,4187
	0,71	1,00	0,62	0,17	0,6197
	0,71	0,50	0,46	0,00	0,3915
		0,70	0,00	0,00	0,44
		0,40	0,46	0,00	0,4282
		0,80	0,38	0,00	0,5346
		0,90	0,23	0,00	0,5391
		0,90	0,15	0,00	0,5255
		0,60	0,54	0,00	0,5018

 

Таким образом, рекомендуется отобрать проекты под номерами 5, 6, 13, 17, 18, 19.

 

 

Задания для самостоятельной работы

 

Получить комплексную оценку проектов по методу аддитивной свертки, «трудности», медианы Кемени (при несравнимых критериях) и методу потерь. Данные о проектах приведены в табл. 4.2. При этом минимальное и максимальное значение показателей взять с 10% интервалом, а граничное значение с 5%.

Таблица 4.2

Вариант	Проект	Планируемая прибыль	Оценка риска	Обеспеченность ресурсами (%)	Стоимость проекта
	I		0.45
II		0.7
III		0.5
IV		0.2
	I		0.3
II		0.32
III		0.34
IV		0.4
	I		0.15
II		0.1
III		0.8
IV		0.22
	I		0.3
II		0.2
III		0.32
IV		0.27
	I		0.12
II		0.14
	III		0.2
IV		0.1
	I		0.7
II		0.1
III		0.6
IV		0.3
	I		0.29
II		0.26
III		0.12
IV		0.09
	I		0.1
II		0.3
III		0.8
IV		0.9
	I		0.9
II		0.8
III		0.72
IV		0.65
Продолжение табл. 4.2
Вариант	Проект	Планируемая прибыль	Оценка риска	Обеспеченность ресурсами (%)	Стоимость проекта
	I		0.11
II		0.7
III		0.8
IV		0.5
	I		0.7
II		0.3
III		0.5
IV		0.4
V		0.2
	I		0.2
II		0.21
III		0.25
IV		0.4
V		0.3
	I		0.31
II		0.7
III		0.4
IV		0.27
V		0.3
	I		0.32
II		0.2
III		0.31
IV		0.27
V		0.1
	I		0.6
II		0.2
III		0.37
IV		0.22
V		0.42
	I		0.6
II		0.2
III		0,37
IV		0,22
V		0,42
	I		0.6
II		0.2
III		0,37
IV		0,22
V		0,42
	I		0.6
II		0.2
III		0,37
IV		0,22
V		0,42
	I		0.6
II		0.2
III		0,37
IV		0,22
V		0,42
	I		0.6
II		0.2
III		0,37
IV		0,22
V		0,42