Дополнения и упражнения #87

1). Пусть осуществляется разворот твердого тела на угол 2j вокруг оси Эйлера h =< h ₁, h ₂, h ₃>Î Если r =< r ¹, r ², r ³>- произвольный вектор из , то с ним взаимно-однозначно связана эрмитова матрица с нулевым следом R ₀= . С осью Эйлера h и углом вращения 2j связана унитарная матрица U =cosj s ₀+ j sinj(h ₁ s ₁+ h ₂ s ₂+ h ₃ s ₃). Результат вращения вектора r осуществляется преобразованием R ₀¢= UR ₀ U *, где R ₀¢= Найдите матрицы U _k, k =1,2,3, осуществляющие разворот ортонормированного репера, заданного единичной матрицей, на угол 90⁰ вокруг его k - ой оси.

#093

Выясним, как связаны элементы w _l_k (t) матрицы W(t) с координатами вектора угловой скорости w(t)=<w₁(t),w₂(t),w₃(t)>. Для этого запишем: x + d x =(E +W(t) dt) x = =W(t) x dt.

#098

Обозначим (t) производную матрицы F (t). Оператор, определяемый матрицей (t), ставит в соответствие каждой точке x вращающегося тела, выраженной в координатах подвижного базиса (ее координаты в этом базисе не меняются) вектор скорости этой точки, вычисляемый по формуле = (t)= x ₀.

#099

Очевидно, (t)= =- A (t)W_E(t)=-W_R(t) A (t), откуда следуют равенства; W_E(t)=- A ^T(t) (t); W_R(t)=- (t) A ^T(t);

#100

=- a _k2(t)w_E3+ a _k3(t)w_E2, k =1¸3;

=- a _k3(t)w_E1+ a _k1(t)w_E3, k =1¸3;

=- a _k1(t)w_E2+ a _k2(t)w_E1, k =1¸3.

Для связанного с вращающимся телом базиса: (t)=-W_R(t) A (t), и

=- a _3k(t)w_R2+ a _2k(t)w_R3, k= 1¸3;

=- a _1k(t)w_R3+ a _3k(t)w_R1, k =1¸3;

=- a ₂_k(t)w_R₁+ a ₁_k(t)w_R₂, k =1¸3.

Эти уравнения записывают преобразования кватерниона, параметры #101

которого q ₁(t), q ₂(t) и q ₃(t) записаны в координатах вращающегося репера, так что w = w _R. Если параметры кватерниона записаны в неподвижном репере, то w = w _E_,a кватернион q необходимо заменить сопряженным. Поэтому знаки при параметрах q ₁, q ₂ и q ₃ должны быть заменены противоположными:

= [-w₁ q ₁(t)-w₂ q ₂(t)-w₃ q ₃(t)], #101

= [w₁ q ₀(t)-w₂ q ₃(t)+w₃ q ₂(t)],

= [w₁ q ₃(t)+w₂ q ₀(t)+w₃ q ₁(t)],

= [-w₁ q ₂(t)+w₂ q ₁(t)+w₃ q ₀(t)].

Эти уравнения записывают преобразования кватерниона, параметры которого q ₁(t), q ₂(t) и q ₃(t) записаны в координатах вращающегося репера, так что w = w _R. Если параметры кватерниона записаны в неподвижном репере, то w = w _E_,a кватернион q необходимо заменить сопряженным. Поэтому знаки при параметрах q ₁, q ₂ и q ₃ должны быть заменены противоположными:

= [-w₁ q ₁(t)-w₂ q ₂(t)-w₃ q ₃(t)],

= [w₁ q ₀(t)+w₂ q ₃(t)-w₃ q ₂(t)],

= [w₁ q ₃(t)-w₂ q ₀(t)-w₃ q ₁(t)],

= [-w₁ q ₂(t)+w₂ q ₁(t)+w₃ q ₀(t)].

Разделив вещественные и мнимые части, получим систему четырех дифференциальных уравнений: #103

=- w₃Ima+ w₁Imb- w₂Reb,

=- w₃Rea- w₁Reb+ w₂Imb,

=- w₃Imb+ w₁Ima- w₂Rea,

=- w₃Reb- w₁Rea+ w₂Ima.

Запишем матрицу U = = в виде разложения по единичной матрице s ₀= и спиновым матрицам Паули s ₁= , s ₂= , s ₃= Получим: U = (a+d) s ₀- (b+g) s ₁+ (b-g) s ₂+ (a-d) s ₃, или U =g₀ s ₀+ j (g₁ s ₁+g₂ s ₂+g₃ s ₃), µ₀=Rea, µ₁=Imb, µ₂=Reb, µ₃=Ima.

Коэффициент g₀, стоящий перед единичной матрицей s ₀, имеет смысл косинуса половины угла поворота вокруг единичной оси Эйлера, координатами которой являются числа µ₁, µ₂ и µ₃. При необходимости можно записать соответствующий матрице U кватернион q в виде: q = µ₀+ (i µ₁+ j µ₂+ k µ₃).

#128

По закону Ньютона, - f _i=0, где f _i- внешние силы, действующие на точку x _i, включая также и силы, образованные связями.

#132 -135

Уравнения вращательного движения в базисе из главных осей запишутся в виде системы уравнений, которые называются уравнениями Эйлера:

=(I ₂- I ₃)w₂w₃+ M ₁,

=(I ₃- I ₁)w₁w₃+ M ₂,

=(I ₁- I ₂)w₁w₂+ M ₃.

Координаты w₁, w₂ и w₃ вектора угловой скорости в теоретической механике часто обозначают через p, q и r, а моменты инерции I ₁, I ₂, I ₃ - через A, B, C. Условимся записывать моменты инерции в порядке их убывания: I ₁ I ₂ I ₃, A B C). В этих обозначениях уравнения Эйлера запишутся в виде:

A -(B - C) qr = M ₁,

B -(C - A) pr = M ₂,

C -(A - B) pq = M ₃.

Рассмотрим полученные уравнения при отсутствии внешнего момента:

A -(B - C) qr =0,

B -(C - A) pr =0,

C -(A - B) pq =0.

Умножив первое уравнение на p,второе на q и третье на r и сложив их, получим Ap + Bq + Cr =0, откуда (Ap ²+ Bq ²+ Cr ²)=const. Умножая эти уравнения на Ap, Bq и Cr соответственно, получим таким же образом равенство A ² p ²+ B ² q ²+ C ² r ²=const. Этих два равенства показывают справедливость закона сохранения энергии и закона сохранения полного момента импульса для вращательного движения.

Уравнения Эйлера имеют три стационарных решения:

1) p = p ₀=const, q =0, r =0;

2) q = q ₀=const, p =0, r =0;

3) r =r₀=const, p =0, q =0.

Каждое из этих решений соответствует вращению тела с постоянной скоростью вокруг одной из его главных осей. Исследуем системы первого приближения для этих движений.

Положив p = p ₀+ p, q = q ₀+ q, r = r ₀+ r, получим для решения p = p ₀=const:

A -(B - C) q r =0,

B -(C -A)(p ₀+ p) r =0,

C -(A - B)(p ₀+ p) q =0.

Если пренебречь членами высшего порядка малости, систему первого приближения можно записать в следующем виде:

=0,

B -(C - A) p ₀ r =0,

C -(A - B) p ₀ q =0.

Аналогично получаются еще две системы первого приближения для решений q = q ₀ и r = r ₀.

При q = q ₀:

A -(B - C) q ₀ r =0,

B =0,

C -(A - B) q ₀ p =0;

При r = r ₀:

A -(B - C) r ₀ q,

B -(C - A) r ₀ p =0,

C =0.

Введя обозначения =a², =-b² и =g², запишем характеристические многочлены для систем первого приближения и найдем их корни.

Для системы первого приближения при p = p ₀=const, q =0, r =0:

Q ₁(l)=det =-l(l²+(gb p ₀)²), l₁=0,l_2,3= j W, W²=(gb p ₀)².

Для системы первого приближения при q = q ₀=const, p =0, r =0:

Q ₂(l)=det =l(l²-(ag q ₀)²), l₁=0, l_2,3= ag q ₀.

Для системы первого приближения при r =r₀=const, p =0, q =0:

Q ₃(l)=det =-l(l²+(ab r ₀)²), l₁=0, l_2,3= j W, W²=(ab r ₀)².

#139

Любой вектор x V - в Å V задается в виде <0, x >. В результате поворота пространства V вокруг оси Эйлера h (t) на угол j=|| h || вектор x перейдет в вектор x ₁, определяемый равенством

<0, x >=< , h (t)>*<0, x ₀(t)*< - h (t)>

При бесконечно малом приращении t времени t для вектора x (t + t) с точностью до величин высшего порядка малости можно записать два выражения – через вектор угловой скорости w(t) и через ось Эйлера h (t):