1). Пусть осуществляется разворот твердого тела на угол 2j вокруг оси Эйлера h =< h 1, h 2, h 3>Î 
Если r =< r 1, r 2, r 3>- произвольный вектор из , то с ним взаимно-однозначно связана эрмитова матрица с нулевым следом R 0= 
. С осью Эйлера h и углом вращения 2j связана унитарная матрица U =cosj s 0+ j sinj(h 1 s 1+ h 2 s 2+ h 3 s 3). Результат вращения вектора r осуществляется преобразованием R 0¢= UR 0 U *, где R 0¢= 
Найдите матрицы U k, k =1,2,3, осуществляющие разворот ортонормированного репера, заданного единичной матрицей, на угол 900 вокруг его k - ой оси.
#093
Выясним, как связаны элементы w lk (t) матрицы W(t) с координатами вектора угловой скорости w(t)=<w1(t),w2(t),w3(t)>. Для этого запишем: x + d x =(E +W(t) dt) x 
= 
=W(t) x dt.
#098
Обозначим 
(t) производную 
матрицы F (t). Оператор, определяемый матрицей (t), ставит в соответствие каждой точке x вращающегося тела, выраженной в координатах подвижного базиса (ее координаты в этом базисе не меняются) вектор скорости этой точки, вычисляемый по формуле 
= (t)= x 0.
#099
Очевидно, 
(t)= 
=- A (t)WE(t)=-WR(t) A (t), откуда следуют равенства; WE(t)=- A T(t) (t); WR(t)=- (t) A T(t);
#100
=- a k2(t)wE3+ a k3(t)wE2, k =1¸3;
=- a k3(t)wE1+ a k1(t)wE3, k =1¸3;
=- a k1(t)wE2+ a k2(t)wE1, k =1¸3.
Для связанного с вращающимся телом базиса: 
(t)=-WR(t) A (t), и
=- a 3k(t)wR2+ a 2k(t)wR3, k= 1¸3;
=- a 1k(t)wR3+ a 3k(t)wR1, k =1¸3;
=- a 2k(t)wR1+ a 1k(t)wR2, k =1¸3.
Эти уравнения записывают преобразования кватерниона, параметры #101
которого q 1(t), q 2(t) и q 3(t) записаны в координатах вращающегося репера, так что w = w R. Если параметры кватерниона записаны в неподвижном репере, то w = w E, a кватернион q необходимо заменить сопряженным. Поэтому знаки при параметрах q 1, q 2 и q 3 должны быть заменены противоположными:
= 
[-w1 q 1(t)-w2 q 2(t)-w3 q 3(t)], #101
= [w1 q 0(t)-w2 q 3(t)+w3 q 2(t)],
= [w1 q 3(t)+w2 q 0(t)+w3 q 1(t)],
= [-w1 q 2(t)+w2 q 1(t)+w3 q 0(t)].
Эти уравнения записывают преобразования кватерниона, параметры которого q 1(t), q 2(t) и q 3(t) записаны в координатах вращающегося репера, так что w = w R. Если параметры кватерниона записаны в неподвижном репере, то w = w E, a кватернион q необходимо заменить сопряженным. Поэтому знаки при параметрах q 1, q 2 и q 3 должны быть заменены противоположными:
= [-w1 q 1(t)-w2 q 2(t)-w3 q 3(t)],
= [w1 q 0(t)+w2 q 3(t)-w3 q 2(t)],
= [w1 q 3(t)-w2 q 0(t)-w3 q 1(t)],
= [-w1 q 2(t)+w2 q 1(t)+w3 q 0(t)].
Разделив вещественные и мнимые части, получим систему четырех дифференциальных уравнений: #103
=- w3Ima+ w1Imb- w2Reb,
=- w3Rea- w1Reb+ w2Imb,
=- w3Imb+ w1Ima- w2Rea,
=- w3Reb- w1Rea+ w2Ima.
Запишем матрицу U = 
= 
в виде разложения по единичной матрице s 0= 
и спиновым матрицам Паули s 1= 
, s 2= 
, s 3= 
Получим: U = (a+d) s 0- (b+g) s 1+ 
(b-g) s 2+ 
(a-d) s 3, или U =g0 s 0+ j (g1 s 1+g2 s 2+g3 s 3), µ0=Rea, µ 1=Imb, µ 2=Reb, µ 3=Ima.
Коэффициент g0, стоящий перед единичной матрицей s 0, имеет смысл косинуса половины угла поворота вокруг единичной оси Эйлера, координатами которой являются числа µ1, µ2 и µ3. При необходимости можно записать соответствующий матрице U кватернион q в виде: q = µ0+ 
(i µ1+ j µ2+ k µ3).
#128
По закону Ньютона, 
- f i=0, где f i- внешние силы, действующие на точку x i, включая также и силы, образованные связями.
#132 -135
Уравнения вращательного движения в базисе из главных осей запишутся в виде системы уравнений, которые называются уравнениями Эйлера:
=(I 2- I 3)w2w3+ M 1,
=(I 3- I 1)w1w3+ M 2,
=(I 1- I 2)w1w2+ M 3.
Координаты w1, w2 и w3 вектора угловой скорости в теоретической механике часто обозначают через p, q и r, а моменты инерции I 1, I 2, I 3 - через A, B, C. Условимся записывать моменты инерции в порядке их убывания: I 1 
I 2 I 3, A B C). В этих обозначениях уравнения Эйлера запишутся в виде:
A 
-(B - C) qr = M 1,
B 
-(C - A) pr = M 2,
C 
-(A - B) pq = M 3.
Рассмотрим полученные уравнения при отсутствии внешнего момента:
A -(B - C) qr =0,
B -(C - A) pr =0,
C -(A - B) pq =0.
Умножив первое уравнение на p,второе на q и третье на r и сложив их, получим Ap + Bq + Cr =0, откуда (Ap 2+ Bq 2+ Cr 2)=const. Умножая эти уравнения на Ap, Bq и Cr соответственно, получим таким же образом равенство A 2 p 2+ B 2 q 2+ C 2 r 2=const. Этих два равенства показывают справедливость закона сохранения энергии и закона сохранения полного момента импульса для вращательного движения.
Уравнения Эйлера имеют три стационарных решения:
1) p = p 0=const, q =0, r =0;
2) q = q 0=const, p =0, r =0;
3) r =r0=const, p =0, q =0.
Каждое из этих решений соответствует вращению тела с постоянной скоростью вокруг одной из его главных осей. Исследуем системы первого приближения для этих движений.
Положив p = p 0+ 
p, q = q 0+ q, r = r 0+ r, получим для решения p = p 0=const:
A 
-(B - C) q r =0,
B 
-(C -A)(p 0+ p) r =0,
C 
-(A - B)(p 0+ p) q =0.
Если пренебречь членами высшего порядка малости, систему первого приближения можно записать в следующем виде:
=0,
B 
-(C - A) p 0 r =0,
C 
-(A - B) p 0 q =0.
Аналогично получаются еще две системы первого приближения для решений q = q 0 и r = r 0.
При q = q 0:
A -(B - C) q 0 r =0,
B =0,
C -(A - B) q 0 p =0;
При r = r 0:
A 
-(B - C) r 0 q,
B -(C - A) r 0 p =0,
C =0.
Введя обозначения 
=a2, 
=-b2 и 
=g2, запишем характеристические многочлены для систем первого приближения и найдем их корни.
Для системы первого приближения при p = p 0=const, q =0, r =0:
Q 1(l)=det 
=-l(l2+(gb p 0)2), l1=0,l2,3= 
j W, W2=(gb p 0)2.
Для системы первого приближения при q = q 0=const, p =0, r =0:
Q 2(l)=det 
=l(l2-(ag q 0)2), l1=0, l2,3= ag q 0.
Для системы первого приближения при r =r0=const, p =0, q =0:
Q 3(l)=det 
=-l(l2+(ab r 0)2), l1=0, l2,3= j W, W2=(ab r 0)2.
#139
Любой вектор x 
V - в 
Å V задается в виде <0, x >. В результате поворота пространства V вокруг оси Эйлера h (t) на угол j=|| h || вектор x перейдет в вектор x 1, определяемый равенством
<0, x >=< 
, h (t)>*<0, x 0(t)*< - h (t)>
При бесконечно малом приращении t времени t для вектора x (t + t) с точностью до величин высшего порядка малости можно записать два выражения – через вектор угловой скорости w(t) и через ось Эйлера h (t):
<0, x (t + t)>»< 
, h (t +D t)>*<0, x 0(t)>*< ,- h (t +D t)> и <0, x (t + t)>»<1, 
t > 
< , h (t)>*<0, x 0(t)>*< ,- h (t)>*<1,- t >.
#148
=w1+(sinj1tgj2)w2+(cosj1tgj2)w3,
=(cosj1)w2-(sinj1)w3,
= 
w2+ 
w3,
=- 
w2w3+ 
M 1,
=- 
w1w3+ 
M 2,
=- 
w1w2+ 
M 3.
