Пример 8.. Суммирование (вычитание) матриц

ПОДПРОГРАММЫ

В практике программирования часто возникает необходимость вы­полнения одной и той же последовательности операторов в различных частях программы. Наиболее простым способом реализации программы является запись последовательности операторов в тех участках программы, где это необходимо. Однако такой прием зачастую оказываетcя нерациональным. В этом случае целесообразно оформить повторяющуюся группу операторов в виде подпрограммы. В алгоритмическом языке Паскаль возможно организовать два типа подпрограмм (подпрограммы типа процедуры и подпрограммы типа функции. Процедуры и функции позволяют описать повторяющиеся участки вычислений один раз, а в нужных местах программы приводить лишь обращение к этим описаниям. Использование подпрограмм позволяет сократить объем программы, улучшить ее структуру и уменьшить ве­роятность наличия ошибок. Предоставляется возможность реализовать структурное программирование. С некоторыми стандартные процедуры и функции вы уже знакомы и использовали их. Это: стандартные процедуры Read, Write, а так же различные стандартные функции вычисления тригонометрических, логарифмических, экспоненты, вычисления квадратного корня и другие функции. Для стандартных процедур и функций разработаны программы, которые записаны в библиотеке и пользователь, соблюдая определенные правила, обращается к ним по имени с указанием фактических параметров (списка или аргументов).

Подпрограмма - функция

Подпрограммой - функцией описывается вычислительный процесс результатом выполнения, которого будет одно значение. Описание подпрограммы - функции выполняется в разделе описаний в подразделе Описание функции вслед за разделом описания глобальных переменных программы. Описание Функция состоит из заголовка, описания локальных переменных и тела функции (группы операторов). Общий вид подпрограммы - функции таков:

Function <имя_функции> (а₁;...;а_n): <тип результата>;

	Раздел описания функции, который может содержать описания локальных меток, констант, типов, переменных, процедур и функций, действующих в теле описываемой функции.

 

Группа любых операторов – тело функции

Begin

 

 

End;

где а₁;...;a_n - список формальных параметров с указанием типа (указателем типа может быть только простой тип, в том числе и создаваемый пользователем). Формальными параметрами могут быть простые переменные, имена массивов.

Функция передает в вызывающую программу единственное значение (результат) через свое имя. Тип передаваемого значения результата определяется в заголовке функции. В теле подпрограммы - функции имени функции обязательно должно быть присвоено рассчитанное значение результата, т.е. теле функции должно хотя бы один раз присутст­вовать оператор присваивания, в левой части которого указано имя функции.

Обращение к описанной функции в основной программе выполняется аналогично обращению к стандартной функции: указывается имя функции затем в круглых скобках через запятую список фактических параметров
<имя_функции>(β1,β2,…,βn),

где β1,β2,…,βn – список фактических параметров. Фактическими параметрами могут быть: константы, переменные (простые и с индексами), массивы, выражения. Список фактических параметров должен строго соответствовать списку формальных параметров (по количеству, порядку следования, типу данных).

Выполнение функции:

v Сверяется имя функции с именами стандартных функций библиотеки

v Сверяется имя функции с именами функций в разделе описаний программы

v Проверяется соответствие списка фактических и формальных параметров

v Происходит замена формальных параметров фактическими в теле описания функции

v Выполняется модифицированное тело функции

v Полученный результат присваивается имени функции и возвращается в основную программу в точку вызова функции.

Если в теле описания функции встречаются имена переменных не входящих в список формальных, они являются глобальными и должны быть описаны в ос­новной программе..

Пример 1. Оформить в виде подпрограммы возведение в целочисленную степень у=хⁿ.

Function rez1 (n:integer; x:real): real;

var i:integer;

begin

rez1:=1;

for i:=1 to n do

rez1:=rez1*x;

end;

 

Пример 2. Оформить в виде подпрограммы возведение вещественного числа в вещественную степень y=a^x.

Function rez2(x:real; a:real): real;

begin

Rez2:=exp(x*ln(a));

end;

В примере 2 подстепенное выражение не может принимать отрицательное значение или быть равным нулю. Впримере 1 может быть и отрицательным.

Переменные n, x, i примера 1 определены только в теле подпрограммы -функции. Вне тела функции они не определены, т.е. не существуют. Аналогичными переменными являются параметры а, х впримере 2.

Обращение к подпрограмме-функции осуществляется по имени функции с указанием в скобках вместо формальных параметров фактических. Причем имена формальных и фактических параметров могут и не совпадать, но их последовательность, количество и тип должны обязательно соответствовать друг другу. Так, обращение к функции rez2 примера 2 может быть таким:

у:=а*rez2(n,х);,

что соответствует решению задачи у=а*хⁿ. Здесь переменная n обязательно должна быть описана как переменная вещественного типа.

В примере 2 переменные х и а являются формальными параметрами - переменные, формально присутствующие в подпрограмме и определяющие тип и место подстановки фактических значений, передаваемых из вызывающей программы. Конкретные (фактические) значения передают фактические параметры при обращении в вызывающей программе. Так, при рассмотренном выше обращении к функции rez2 фактическими параметрами являются переменные n и x.

Пример 3. Вычислить элементы двух векторов: A={a_i}, где i=[1..n], n=10 и B={b_k}, где j=[1..m], m=7.

Элементы вектора A и B вычисляются по формулам:

 

 

Вычислить значение переменной Z=an-bk, где an и bk количества элементов векторов A и B, принадлежащих интервалу [c..d], где c=-1,5; d=4,8.

Вычисление компонент векторов A, B а также подсчет количества элементов векторов принадлежащих интервалу [c..d] оформить подпрограммой.

Структурная схема подпрограммы имеет вид:

да

нет

да

нет

Вычисления элементов векторов также оформим подпрограммой функцией.

Текст программы.

PROGRAM Primer_3;

CONST n = 10; m=7; c=-1.5; d=4.8;

Type Vect= ARRAY [1.. n] OF Real;

VAR z: real;

 

Function F1(i:integer; ni,ki:real):real;

BEGIN

F1:=(cos(i)+sin(2.4*i))*(ki/ni)/(0.25*i);

End;

 

Function F2(j:integer; ni,ki:real):real;

BEGIN

F2:=ln(j)/ln(10)+j*j+ni/ki;

End;

 

Function Mass_kol(m,nf:integer; ni,ki:real):integer;

VAR i, R: INTEGER;

ab: vect;

BEGIN

Writeln('Расчет и вывод элементов',nf:3,' МАССИВА ');

FOR i:= 1 TO m DO

BEGIN

If nf=1 Then ab[i]:=F1(i,ni,ki) Else ab[i]:=F2(i,ni,ki);

Write(ab[i]:7:2,' ');

End;

Writeln;

R:=0;

FOR i:= 1 TO m DO

If (ni<=ab[i]) and (ab[i]<=ki) Then R:=R+1;

Writeln('Контрольный вывод количества элементов в',nf:3,

' массиве =',R:3);

Mass_kol:=R;

Writeln;

End;

 

BEGIN

Z:=Mass_kol(n,1, c,d)+ Mass_kol(m,2, c,d);

Writeln('Значение z= ',z:3);

End.

Расчет и вывод элементов 1 МАССИВА

-15.56 9.04 0.84 2.65 0.65 -4.11 0.24 -0.32 0.75 2.23

Контрольный вывод количества элементов в 1 массиве = 7

 

Расчет и вывод элементов 2 МАССИВА

0.69 3.99 9.16 16.29 25.39 36.47 49.53

Контрольный вывод количества элементов в 2 массиве = 2

 

Значение z= 9

 

Подпрограмма - процедура

В отличие от подпрограммы – функции подпрограмма – процедура в качестве результата может возвращать несколько значений. Структура процедуры имеет вид:

Procedure <имя> (а₁;...;а_n);

	Раздел описания локальных меток, констант, переменных

 

Группа операторов - тело процедуры

Begin

 

 

End;

где a₁;…;a_n – список формальных параметров с указанием типа. Причем при указании типа параметра обязательно выделяют параметры, которые в ходе выполнения программы не меняют своего значения (замена формальных фактическими параметрами по значению) и которые могут его изменить (замена формальных фактическими параметрами по наименованию). В описании последних перед ним ставится служебное слово Var.

Пример 5.

Рассчитать элементы квадратной матрицы A={a[i,j]}, i,j=1,2,…n по заданной формуле:

; .

Расчет элементов матрицы оформить подпрограммой. Так как результаты работы подпрограммы много значений, следовательно, необходимо использовать подпрограмму-процедуру.

Структурная схема имеет вид:

 

Program prim5_1;

Const n=7;

Type vect=array[1..n] of real;

matr=array[1..n,1..n] of real;

Var a:matr;

i,j:integer;

 

{Описание поцедуры вычисления элементов матрицы А}

Procedure Matrica(n:integer; var A:matr);

var i,j:integer;

Begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

a[i,j]:=(2*j*i+4*i)/j;

End;

 

{Основная программа}

Begin

Matrica(n,a);

Writeln(' ':20,'MATPICA A');

for i:=1 to n do

Begin

for j:=1 to n do Write(a[i,j]:8:3);

writeln;

End;

End.

 

Результаты работы программы.

 

Ввод значений элементов массива осуществляется с использованием операторов цикла, например:

Writeln(‘ Введите элементы матрицы А‘);

for i:=1 to n do

for j:=1 to m do

read (a[i, j]);.

При большой размерности массива ввод данных с клавиатуры становится трудоемкой операцией. В этом случае значения элементов массива удобнее задавать в разделе описания констант.

Пример 6: ввести значения элементов вектора Х и матрицы А, которые соответственно равны:

4, 5, 10, 8, 0

7, 9, 25, 0, 1

Х = (5, 1.2, 0.1, 7, 8.6) А = 3, 0, 6, 14, 5

0, 0, 0, 99, 12

Значения элементов могут быть определены путем их инициализации:

 

Const X: array [1..5] of real = (5.0, 1.2, 0.1, 7.0, 8.6);

A: array [1..4, 1..5] of integer = ((4, 5, 10, 8, 0),

(7, 9, 25, 0, 1),

(3, 0, 6, 14, 5),

(0, 0, 0, 99, 12));.

 

Пример 7

Дана матрица A = { }, i, j=1, 2,..., N.

Необходимо вычислить элементы вектора X = { }, i = 1, 2,..., N. Каждый элемент вектора вычисляется как произведение i-го столбца и главной диагонали матрицы A.

Например, пусть N = 3 и известны все элементы матрицы A

A = = .

Попутно отметим, что i-ая строка, j-ый столбец, главная и побочная диагонали матрицы A по сути является вектором.

Действительно,

- 2-ая строка (вектор),

- 3-ий столбец (вектор),

{ }_N - главная диагональ (вектор),

{ }_N - побочная диагональ (вектор).

 

В соответствии с условием задачи (пример 6), элементы вектора x_i могут быть рассчитаны следующим образом:

для = * + * + * = _;

для = ;

для .

Формализация данной задачи приводит к следующему выражению:

, i = 1, 2,..., N (8)

 

Два варианта разработки алгоритма данной задачи показаны на рис. 13.

 

 

Рис.13

……..

Type vect=array [1..10] of real;

Matr= array [1..10,1..10] of real;

 

Procedure Vector_x(n:integer; a:matr; var x:vect);

Var i,j:integer; s:real;

Begin

For i:=1 to n do

Begin

S:=0;

For j:=1 to n do

S:=S+a[i,j]*a[j,j];

X:=S;

End;

End;

 

Пример 8.. СУММИРОВАНИЕ (ВЫЧИТАНИЕ) МАТРИЦ

 

Данные действия над двумя матрицами A и Bмогут быть произведены, если размерности обоих матриц равны, предположим (M*N). Результатом суммирования (вычитания) будет матрица Cтакой же размерности (M*N). C = A + B = + = ,(9) ,i = 1, 2,...,M; j = 1, 2,..., N. (10)

Рис. 14

Алгоритм суммирования матриц показан на рис. 14.

Алгоритм вычитания матриц аналогичен рассмотренному, за исключением очевидной замены знака " + " на " - ".

Пример 9. Составить подпрограмму умножения двух квадратных матриц С=А*В m-го порядка.

 

Type Matr = array [1..10, 1..10] of real;

Var A, B, C: Matr;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Procedure MultMat (n: integer; Mat1, Mat2:Matr; Var Mat3:Matr);

var i.k,j: integer;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do begin

Mat3[i,j]:=0.0;

for k:=l to n do

Mat3[i,j]:=Mat3[i,j]+Mat1[i.k]*Маt2[k,j];

end;

end;

 

Здесь массивы Mat1 и Mat2 в ходе выполнения процедуры не меняют своих значений, поэтому для них указывается только тип. Массив Mat3 формируется в процедуре, соответственно при описании его типа перед именем ставится ключевое слово Var. Переменные i, j, k задействованы только внутри процедуры, поэтому они описаны как локальные переменные.

Вызов процедуры осуществляется по имени, с указанием фактических параметров. Так, для рассматриваемого примера обращение к процедуре может выглядеть так:

MultMat (m. A, B, С);

Результат перемножения двух матриц располагается в массиве С.

Описание процедуры служит для определения процедуры в рамках текущей процедуры или программы. Выполнение процедуры начинается с оператора процедуры и после завершения процедуры выполнение программы продолжается с оператора, следующего непосредственно за оператором вызова процедуры.