Глава I. Элементы линейной алгебра

§1. Матрицы

1.1. Матричные модели

Матричные модели представляет собой модели, построенные в виде таблиц (матриц). Эти модели находят широкое применение при решение плановых и экономических задач и при обработке больших массивов информации.

Матрица- это прямоугольная таблица чисел или других величин.

Например: На складах фирмы:

склад1 склад2 склад3

Сахар 200 100 150

Соль 350 200 180

Мука 400 250 260

Эти данные можно записать в форме матрицы (массива) чисел:

Коэффициенты при неизвестных системы линейных уравнений

также могут быть выделены в отдельную матрицу коэффициентов:

Матрицы коэффициентов - инструмент решения задач линейного программирования.

1.2. Основные понятия теории матриц.

Матрица (массив) – это прямоугольная таблица чисел или других величин.

Любое число такого массива называется элементом матрицы. Ряд чисел, расположенных в матрице горизонтально, называется строкой матрицы, а вертикально - столбцом. Количество строк в Матрице обычно обозначается m, а количество столбцов- n.Количество элементов в матрице называется размерностью матрицы и обозначается m*n.

Матрицу обычно обозначают большой буквой: A, B,C. Ее элементы обозначаются той же, но маленькой буквой с индексами: a_ij, где i – номер строки, j – номер столба, где стоит элемент a, причем i=1…m, j=1…n.

Общий вид матрицы:

Когда в матрице число строк равно числу столбцов, т.е. m=n, то она называется квадратной. Квадратную матрицу размера n*n называется матрицей n-го порядка.

Например: А _2*2= - квадратная матрица 2-го порядка

Воображаемая линия квадратной матрицы, пересекающая ее от а₁₁ до а_mm, называется главной диагональю, а наоборот, от a_m₁ до a₁_m- побочной диагональю.

Квадратная матрица, в которой все элементы, кроме расположенных на главной диагонали, равны0, называется диагональной: А _3*3=

Диагональная матрица, у которой все элементы, расположенные по главной диагонали - единицы, а остальные- нули, называется единичной.

Единичную матрицу обозначают буквой Е.

Например: Е_3*3= -единичная матрица 3-го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

А_3*3=

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначает буквой О.

О_n_*_n=

Матрица называется положительной, если все ее элементы а_ij > 0.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор-столбцом.

В_m_*1= Ее размерность m*1

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой. x_1*_n=(x₁,x₂,…x_n) Ее размерность 1*n.

Матрица размером 1*1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (5)_1*1 есть 5.

1.3. Операции над матрицами.

1) сложение. Операция сложения вводится только для матриц одинаковых размеров.

Определение. Суммой двух матриц A и B,имеющих m строк и n столбцов, называется матрицы, полученная в результате сложения одноименных элементов матриц A и B. Получаемая в результате матрица С имеет ту же размерность m*n.

Пример: А= ; В= ; С=А+В= .

2) Аналогично определяется разность матриц.

3) Умножение матрицы на число.

Определение. Произведением матрицы А на число k называется матрица, полученная в результате умножения каждого элемента матрицы на число k.

Пример: А= ; k=2; C=A*2= .

Матрица –А=(-1)*А называется противоположной матрице А.

Разность матриц А-В можно определить так: А-В=А+(-В).

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. А+В=В+А;

2. А+(В+С)=(А+В)+С;

3. А+0=А;

4. А+(-А)=0;

5. 1*А=А;

6. α*(А+В)=α*А+α*В;

7. (α*β)*А=α*А+β*А;

8. α*(β*А)=(α*β)*А,

где А, В, С – матрицы одних и тех же размеров;

0-нулевая матрица, (-А)-матрица, противоположная А; α, β – любые действительные числа.

Сложение, вычитание матриц, умножение матрицы на число называется линейными действиями над матрицами.

4) Умножение матрицы на матрицу.

Это действие определяется для согласованных матриц. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А_m_* _n согласована с матрицей В _n _*_p (“истина”матрицы А равна “высоте” В).

Пример: А_{2* 3}= и В ₃ _*4= - согласованные матрицы

Отметим следующее:

1) из согласованности матрицы А с В не следует согласованность В с А;

2) если А и В – квадратные матрицы одного порядка, то они взаимно согласованны (А согласованна с В, В согласованна с А).

Умножая первую строку первой матрицы на первый, второй и т.д. столбы второй матрицы, получим в виде суммы произведений первой, второй и т.д. элементы первой строки новой матрицы.

Пусть А=(а₁, а₂, а₃)* = а₁*b₁+ а₂*b₂+ а_3*b₃=

Аналогическая операция производится с каждой строкой первой матрицы.

Определение: Произведением двух матриц- матрицы A_m*n(a_ik) на матрицу B_m_*_p (a_kj)-называется матрица С_m_*_p, каждый элемент который С_ij вычисляется по формуле С_ij= , где i=1,…m, j=1,…p.

Получение элемента С_ij схематично изображается так:

Пример: * =

Пример: А= ; В= ;

С=А*В= =

Свойства умножения матриц:

1.А*В=В*А;

2.А*(В*С)=(А*В)*С;

3. А*(В+С)=А*В+А*С;

4. α*(А*В)=(α*А)*В;

5.А*Е=А;

6.А*0=А.

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведение А*В и В*А всегда существуют. Легко показать А*Е=Е*А=А, где А-квадратная матрица, Е-единичная матрица того же размера.

Матрица А и В называется перестановочными, если А*В=В*А.

5) Элементарные преобразования матриц.

а) перестановка местами двух параллельных рядов матрицы (столбцов или строк);

б) умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличные от нуля;

в) прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Определение: Две матрицы А и В называются Эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А~В.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице,

У которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например, .

Пример: А=

Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем.

~ ~ ~ ~

~ ~ ~

1.4. Транспонированная матрица

Определение: матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной относительно данной.

Матрицу, транспонированной относительно матрицы А, обозначим через А ′ или А^Т.

Например: А= → А^Т=

Если А-матрица размеров, то матрица имеет размеры. Операция нахождения матрицы, транспонированной к данной называется транспонированием.

Свойства:

1.

2. (А+В)^Т=А^Т+В^Т

3. (А*В)^Т=А^Т*В^Т

4. А*А^Т- симметричная матрица

Определение: симметричной называется такая квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично главной диагонали, равны между собой.

Пример: Найдем А* А^Т

А= ; А^Т=

А* А^Т= = - симметричная матрица