Условие перпендикулярности плоскостей

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

30) Точка пересечения прямой и плоскости.

31) Квадратичные формы. Запись, обозначения. Матрица квадратичной формы.

Определение квадратичной формы

Квадратичная форма переменных - функция

- коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают тогда

Если переменные принимают действительные значения и квадратичная форма называется действительной.

Матричная запись квадратичной формы

Матрица

называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если

33) Приведение квадратичной формы к диагональному виду методом ортогональных преобразований.

Ортогональное преобразование пространства :

где - собственные значения матрицы A.

34) Знакоопределенность матрицы. Критерий Сильвестра.

Классификация действительных квадратичных форм

Положительно-определенные

Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны (критерий Сильвестра).

Отрицательно-определенные

Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда

Положительно-полуопределенные

Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид r < n, r = rank A.

Отрицательно-полуопределенные

Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид r < n, r = rank A.

Неопределенные

Квадратичные формы, которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Нормальный вид: r = rank A.

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.

Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её главные (угловые) миноры Δ _i положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки Δ _i чередуются, причём Δ₁ < 0. Здесь главными минорами матрицы A называются определители вида

Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

не является неотрицательно определённой — так как, например, (Mv, v) = − 2 для v = (0,1, − 1). В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.