Перестановки. Знак перестановки

1^о. Перестановки, умножение перестановок.

Пусть ­­− произвольное множество из элементов; например,

Определение 1. Перестановкой степени называетсявзаимнооднозначное отображение множества в .

Множество всех перестановок степени обозначается . Каждую перестановку будем в дальнейшем обозначать строчной буквой греческого алфавита: Перестановка изображается двурядным символом (или, другими словами, матрицей размера ):

. (1)

Такой символ обозначает отображение

Замечание. Порядок столбцов в обозначении (1) перестановки не является существенным. А именно, ту же перестановку можно записать в виде

.

Утверждение 1. Число различных перестановок степени равно

Доказательство. В качестве первого элемента можно выбрать любой из элементов, в качестве второго − любой из оставшихся элементов, и т.д. Всего различных возможностей выбора Таким образом, ■

Определение 2. Произведением перестановок называетсяперестановка, обозначаемая , такая, что

Например, если

то

Свойства (умножения перестановок)

1) Ассоциативность умножения, т.е. справедливо

Доказательство. По определению 2, Аналогично, что и требовалось доказать.

2) Если – тождественная перестановка, то выполняется

3) Для любой такая, что Такая перестановка называется обратной к и обозначается

Доказательство. Если

,

то

Упражнение. Доказать единственность обратной перестановки.

2 ^о. Знак перестановки.

Определение 3. Пусть – перестановка степени и пусть . Тогда пара называется инверсией относительно , если .

Перестановка называется четной, если число инверсий относительно четное, и перестановка называется нечетной, если число инверсий − нечетное.

Знак перестановки – это , где – число инверсий.

Обозначение: .

Таким образом, если – четная, то , и если – нечетная, то .

Пример. . Возможные пары . Их них подчеркнутые – инверсии. Таким образом, , т.е. – четная.

Теорема 1.

1. Знак единичной перестановки равен 1.

2. Если .

3. .

Доказательство.

1. В единичной перестановке инверсий нет; поэтому .

2. Пусть – множество инверсий относительно , а – множество инверсий относительно .

Легко видеть, что если , то . Следовательно, между множествами устанавливается взаимнооднозначное соответствие

.

3. Пусть – множество инверсий относительно ,

– множество инверсий относительно ,

– множество инверсий относительно : .

Тогда надо доказать, что , т.е. . Таким образом, надо показать, что |A|+|B|+|C| – четное число.

Пусть ,

,

,

.

Введем следующее обозначение: пусть - это множество пар . Тогда справедлива следующая множественная схема:

 

Между множествами существует взаимнооднозначное соответствие : .

Поэтому из картинки видно , т.е. четное число. ▄

Следствие. .

2^о. Транспозиция как пример нечетной перестановки. Разложение перестановки в произведение транспозиций.

Определение 4. Перестановку вида , где точками обозначены элементы, остающиеся на своих местах, называют транспозицией (или -перестановкой).

Теорема 2. Транспозиция является нечетной перестановкой.

Доказательство. Вычислим число инверсий. Инверсиями являются пары , где ; пары , где ; и пара . Их всего будет , т.е. нечетное число. ▄

Замечание. Для вычисления произведения и транспозиции вида необходимо в нижней строке поменять местами и .

Упражнение. Как вычисляется произведение ?

Замечание. , т.е. эти транспозиции совпадают.

Теорема 3. Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций.

Доказательство. Пусть . Покажем, что нижняя строка может быть получена из строки за конечное число шагов, каждый из которых состоит в том, что два числа меняются местами.

Пример.

т.е. .

Аналогично в общем случае.

Пусть на r -ом шаге поменяются местами . Тогда ввиду замечания . ▄

Упражнение. Показать, что каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций вида .

Очевидно, что любая перестановка может быть представлена в виде произведения транспозиций различными способами.

Пример.

.

Теорема 4. При всех разложениях перестановки в произведения транспозиций, четность числа транспозиций одна и та же; она совпадает с четностью перестановки.

Доказательство. Пусть , где – транспозиция. Тогда знак равен знаку произведения транспозиций – четно, если – четно. ▄