Пример выполнения задания №2

 

Рассчитать параметры сетевого графика мероприятия по совершенствованию системы. Сетевая модель заданатаблично (Таблица 2). Продолжительность выполнения работ дана в виде минимальной и максимальной оценок (по вариантам). Требуется:

1. Вычислить табличным методом все основные характеристики работ и событий, найти критический путь и его продолжительность.

2. Построить масштабный сетевой график.

3. Оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за 30 дней.

4. Оценить максимально возможный срок выполнения всего комплекса работ с вероятностью 95%.

Таблица 2. Сетевая модель

Код работы (i,j)	Продолжительность
tmin (i,j)	tmax (i,j)
1,2
1,4
1,5
2,3		4,5
2,8
3,4		3,5
3,6
4,7		6,5
5,7
6,8
7,8		7,5

Решение: В нашем задании продолжительность выполнения работы задаётся двумя оценками – минимальная и максимальная. Минимальная оценка t_min(i,j) характеризует продолжительность выполнения работы при наиболее благоприятных обстоятельствах, а максимальная t_max(i,j) – при наиболее неблагоприятных условиях. Продолжительность работы в этом случае рассматривается, как случайная величина, которая в результате реализации может принять любое значение в заданном интервале. Такие оценки называются вероятностными (случайными), и их ожидаемое значение t_ож(i,j) оценивается по формуле

t_ож(i,j)=(3 t_min(i,j)+2 t_max (i,j))/5

Для характеристики степени разброса возможных значений вокруг ожидаемого уровня используется показатель дисперсии:

S²(i,j)=0,04(t_max(i,j)-t_min(i,j))²

Рассчитаем ожидаемое значение и показатель дисперсии.

t_ож(1,2)=(3*5+2*10)/5=7

t_ож(1,4)=(3*2+2*7)/5=4

t_ож(1,5)=(3*1+2*6)/5=3

t_ож(2,3)=(3*2+2*4,5)/5=3

t_ож(2,8)=(3*9+2*19)/5=13

t_ож(3,4)=(3*1+2*3,5)/5=2

t_ож(3,6)=(3*9+2*19)/5=13

t_ож(4,7)=(3*4+2*6,5)/5=5

t_ож(5,7)=(3*2+2*7)/5=4

t_ож(6,8)=(3*7+2*12)/5=9

t_ож(7,8)=(3*5+2*7,5)/5=6

S²(1,2)=0,04*(10-5)²=1

S²(1,4)=0,04*(7-2)²=1

S²(1,5)=0,04*(6-1)²=1

S²(2,3)=0,04*(4,5-1)²=0,25

S²(2,8)=0,04*(19-9)²=4

S²(3,4)=0,04*(3,5-1)²=6,25

S²(3,6)=0,04*(19-9)²=4

S²(4,7)=0,04*(6,5-4)²=0,25

S²(5,7)=0,04*(7-2)²=1

S²(6,8)=0,04*(12-7)²=1

S²(7,8)=0,04*(7,5-5)²=0,25

Полученные данные занесем в таблицу 3.

Таблица 3 – Сетевая модель

Работа (i,j)	Продолжительность	Ожидаемая продолжительность tож(i,j)	Дисперсия   S2(i,j)
tmin (i,j)	tmax (i,j)
1,2
1,4
1,5
2,3		4,5		0,25
2,8
3,4		3,5		6,25
3,6
4,7		6,5		0,25
5,7
6,8
7,8		7,5		0,25

 

Используя полученные данные, мы можем найти основные характеристики сетевой модели табличным методом, критический путь и его продолжительность.

Таблица 4 – Табличный метод расчета сетевого графика

КПР	Код работы     (i,j)	Продолжительность работы t(i,j)	Ранние сроки	Поздние сроки	Резервы времени
tрн(i,j)	tро(i,j)	tпн(i,j)	tпо(i,j)	Rп	Rc
	1,2
	1,4
	1,5
	2,3
	2,8
	3,4
	3,6
	4,7
	5,7
	6,8
	7,8

Таким образом, работы критического пути (1,2),(2,3),(3,6),(6,8). Продолжительность критического пути Т_кр=32.

Рисунок 1. Масштабный график сетевой модели

 

 

 

Для оценки вероятности выполнения всего комплекса работ за 30 дней нам необходима следующая формула:

P(t_кр<T)=0,5+0,5Ф(Z),

где Z=(Т-Т_кр)/S_кр

Z- нормативное отклонение случайной величины, S_кр – среднеквадратическое отклонение, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии продолжительности критического пути. Соответствие между Z и Ф(Z) представлено в таблице 5.

Таблица 5 - Таблица стандартного нормального распределения

 

Z	F(Z)	Z	F(Z)	Z	F(Z)
	0.0000	1.0	0.6827	2.0	0.9643
0.1	0.0797	1.1	0.7287	2.1	0.9722
0.2	0.1585	1.2	0.7699	2.2	0.9786
0.3	0.2358	1.3	0.8064	2.3	0.9836
0.4	0.3108	1.4	0.8385	2.4	0.9876
0.5	0.3829	1.5	0.8664	2.5	0.9907
0.6	0.4515	1.6	0.8904	2.6	0.9931
0.7	0.5161	1.7	0.9104	2.7	0.9949
0.8	0.5763	1.8	0.9281	2.8	0.9963
0.9	0.6319	1.9	0.9545	2.9	0.9973

 

Критический путь проходит по работам (1,2)(2,3)(3,6)(3,8).

Дисперсия критического пути:

S²­(L_кр)= S²(1,2)+ S²(2,3)+ S²(3,6)+S²(6,8)=1+0,25+4+1=6,25

S(L_кр)=2,5

p (t_кр<30)=0,5+0,5Ф((30-32)/2,5)=0,5-0,5Ф(0,8)=

=0,5-0,5*0,5763=0,5-0,28815=0,213

Вероятность того, что весь комплекс работ будет выполнен не более чем за 30 дней, составляет 21,3%.

Для определения максимально возможного срока выполнения всего комплекса работ с надежностью 95% будем использовать следующую формулу:

T=Т_кр+Z*S_кр

Для решения поставленной задачи найдем значение аргумента Z, которое соответствует заданной вероятности 95% (значению графы Ф(Z) 0,9545*100% в таблице 5 соответствует Z=1,9).

T=32+1,9*2,5=36,8

Максимальный срок выполнения всего комплекса работ при заданном уровне вероятности 95% составляет всего 36,8 дня.

 

Литература

1. Исследование систем управления: учебное пособие для вузов/Е.В.Закалкина. -Орел:ОрелГТУ, 2010. - 109с.

2. Казанцев Э.Ф., Закалкина Е.В., Мартынова Е.А., Системный анализ. Учебное пособие. - Орел: ОрелГТУ, 2001., 221 c.

3. Системный анализ в логистике: выбор в условиях неопределенности: учеб.для студ. учреждений высш. проф. образования/Г.Л.Бродецкий. –М.: Издательский центр «Академия», 2010. – 336с.

4. Закалкина Е.В., Казанцев Э.Ф. Сетевое планирование и управление. Методические указания по выполнению практических заданий. Орел: ОрелГТУ, 2001г. – 43с

5. Рогожин С.В., Рогожина Т.В. Исследование систем управления: Учебник/ С.В.Рогожин, Т.В.Рогожина. –М.:Экзамен, 2005.- 288с.(Серия «Учебник для вузов