В двох і більше сукупностях

Порівняння часток ознаки в двох сукупностях — задача, яка досить часто зустрічається на практиці. Наприклад, якщо вибіркова частка ознаки в одній сукупності відрізняється від такої ж долі в іншій сукупності, то чи вказує це на те, що наявність ознаки в одній сукупності дійсно ймовірніше, а чи отримана розбіжність часток є випадковою?

Нехай дано дві сукупності, генеральні частки ознаки в яких дорівнюють відповідно і . Необхідно перевірити нульову гіпотезу про рівність генеральний часток, тобто Н ₀: . Для перевірки гіпотези Н ₀ із цих сукупностей взято дві незалежні вибірки достатньо великого об’єму (обмежимось розглядом випадку великих по об’єму вибірок) і . Вибіркові частки ознаки дорівнюють відповідно і , де і — відповідно число елементів першої і другої вибірки, що мають дану ознаку. При достатньо великих і вибіркові частки і мають наближено нормальний закон розподілу з математичним очікуванням і та дисперсіями і , тобто відповідно і . За умови вірності гіпотези Н ₀: різниця має нормальний закон розподілу з математичним очікуванням і дисперсією . Тому статистика

має стандартний нормальний розподіл N (0;1). В якості невідомого значення p, що входить у вираз статистики t, беруть її найкращу оцінку , що дорівнює вибірковій частці ознаки, якщо дві вибірки змішати у одну, тобто . Вибір типу критичної області і перевірка гіпотези Н ₀ здійснюється так само, як описано в розділі 3, при перевірці гіпотези про рівність середніх.

◄ Приклад 2 Контрольну роботу по вищій математиці по індивідуальних варіантах виконували студенти двох груп першого курсу. В першій групі було запропоновано 105 задач, з яких правильно розв’язано 60, а у другій групі із 140 запропонованих вірно розв’язаних 69. На рівні значущості 0,02 перевірити гіпотезу про відсутність значної різниці в засвоєнні навчального матеріалу студентами обох груп.

Розв’язання. Маємо гіпотезу Н ₀: , тобто частки розв’язаних задач студентами першої та другої групи рівні. В якості альтернативної візьмемо гіпотезу Н ₁: .

При вірності гіпотези Н ₀ найкращою оцінкою p буде . Вибіркові частки розв’язаних задач для кожної групи і .

Статистика .

При конкуруючій гіпотезі Н ₁ вибираємо критичну двосторонню область, границі якої визначаємо із умови ((3.7), розділ 3.): , звідки по таблиці . Фактичне значення критерію менше критичного, тобто , отже, гіпотеза Н ₀ приймається, тобто отримані дані не суперечать гіпотезі про однаковий рівень засвоєння навчального матеріалу студентами обох груп. ►