Вычислительный эксперимент

Жизненный цикл моделируемой системы

1. Сбор информации об объекте, выдвижение гипотез, предмодельный анализ;

2. Проектирование структуры и состава моделей (подмоделей);

3. Построение спецификаций модели, разработка и отладка отдельных подмоделей, сборка модели в целом, идентификация (если это нужно) параметров моделей;

4. Исследование модели – выбор метода исследования и разработка алгоритма (программы) моделирования;

5. Исследование адекватности, устойчивости, чувствительности модели;

6. Оценка средств моделирования (затраченных ресурсов);

7. Интерпретация, анализ результатов моделирования и установление некоторых причинно-следственных связей в исследуемой системе;

8. Генерация отчетов и проектных (народно-хозяйственных) решений;

9. Уточнение, модификация модели, если это необходимо, и возврат к исследуемой системе с новыми знаниями, полученными с помощью моделирования.

 

Операции над моделями

Основными операциями используемыми над моделями являются:

1. Линеаризация. Пусть М = М(X, Y, A), где X – множество входов, Y – выходов, А – состояний системы. Схематически можно это изобразить: X ⇒ A ⇒ Y.

Если X, Y, A – линейные пространства (множества), и, соответственно над ними определены линейные операторы, то система (модель) называется линейной. Другие системы (модели) – нелинейные. Нелинейные системы трудно поддаются исследованию, поэтому их часто линеаризуют – сводят к линейным каким-то образом.

2. Идентификация. Пусть М = М(X, Y, A), A = {ai}, ai = (ai1, ai2,..., aik) – вектор состояния объекта (системы). Если вектор ai зависит от некоторых неизвестных параметров, то задача идентификации (модели, параметров модели) состоит в определении по некоторым дополнительным условиям, например, экспериментальным данным, характеризующим состояние системы в некоторых случаях. Идентификация – решение задачи построения по результатам наблюдений математических моделей, описывающих адекватно поведение реальной системы.

3. Агрегирование. Операция состоит в преобразовании (сведении) модели к модели (моделям) меньшей размерности (X, Y, A).

4. Декомпозиция. Операция состоит в разделении системы (модели) на подсистемы (подмодели) с сохранением структур и принадлежности одних элементов и подсистем другим.

5 .Сборка. Операция состоит в преобразовании системы, модели, реализующей поставленную цель из заданных или определяемых подмоделей (структурно связанных и устойчивых).

6. Макетирование. Эта операция состоит в апробации, исследовании структурной связности, сложности, устойчивости с помощью макетов или подмоделей упрощенного вида, у которых функциональная часть упрощена (хотя вход и выход подмоделей сохранены).

7. Экспертиза, экспертное оценивание. Операция или процедура использования опыта, знаний, интуиции, интеллекта экспертов для исследования или моделирования плохо структурируемых, плохо формализуемых подсистем исследуемой системы.

8. Вычислительный эксперимент. Это эксперимент, осуществляемый с помощью модели на ЭВМ с целью распределения, прогноза тех или иных состояний системы, реакции на те или иные входные сигналы. Прибором эксперимента здесь является компьютер (и модель!).

 

 

Вычислительный эксперимент

Увеличив в сотни миллионов раз скорость выполнения арифметических и логических операций и повысив тем самым производительность интеллектуального труда человека, ЭВМ вызвали коренные изменения в области переработки информации. По существу, это явилось своего рода «информационной революцией».

Первые крупные научные задачи, для решения которых успешно использовались ЭВМ, а точнее, для решения которых они и создавались, были связаны с овладением ядерной энергией и освоением космического пространства.

В дальнейшем, развиваясь и совершенствуясь при решении разнообразных актуальных задач, этот стиль теоретического анализа трансформировался в новую современную технологию и методологию проведения теоретических исследований, которая получила название вычислительного эксперимента. Основой вычислительного эксперимента является математическое моделирование, теоретической базой – прикладная математика, а технической – мощные электронные вычислительные машины.

Использование вычислительного эксперимента как средства решения сложных прикладных проблем имеет в случае каждой конкретной задачи и каждого конкретного научного коллектива свои специфические особенности. Тем не менее, всегда четко просматриваются общие характерные основные черты, позволяющие говорить о единой структуре этого процесса. В настоящее время технологический цикл вычислительного эксперимента принято подразделять на ряд этапов. И хотя такое деление условно, тем не менее, оно позволяет лучше понять существо этого метода.

Во-первых, для исследуемого объекта строится модель. Сначала физическая, фиксирующая разделение всех действующих в рассматриваемом явлении факторов на главные, которые учитываются, и второстепенные, которые на данном этапе исследования отбрасываются. Одновременно формулируются допущения, или рамки применимости модели, в которых будут справедливы полученные на ее основе результаты. Эта модель записывается в математических терминах, как правило, в виде дифференциальных, интегральных или смешанных уравнений.

Работа по конструированию математической модели чаще всего проводится объединенными усилиями физиков (химиков, биологов, медиков, экономистов), т.е. специалистов, хорошо знающих данную предметную область, и математиков, представляющих себе уровень развития соответствующего раздела прикладной математики и способных оценить возможность решения возникающей математической задачи. Вычислительный эксперимент не отвергает традиционных классических методов анализа, скорее напротив, предполагает их самое активное использование. Кроме того, на долю математиков выпадает и предварительное исследование математической модели – корректно ли поставлена задача, имеет ли она решение, единственно ли оно и т.д. Однако, для актуальных сложных задач, которые представляет современная наука и техника, подобное исследование удается выполнить лишь в исключительных случаях.

Поэтому к решению задач, имеющих прикладной характер, зачастую приступают, не имея детального исследования ее математических свойств или изучив их лишь на частных упрощенных вариантах исходной постановки задачи.

Второй этап вычислительного эксперимента связан с разработкой метода расчета сформулированной математической задачи, или, вычислительного алгоритма. Фактически он представляет собой совокупность цепочек алгебраических формул, по которым ведутся вычисления, и логических условий, позволяющих установить нужную последовательность применения этих формул.

Как правило, для одной и той же математической задачи можно предложить большое число вычислительных алгоритмов. Однако из этого следует, что среди разнообразия алгоритмов не все одинаковы по своим качествам. Есть алгоритмы хорошие и плохие, и необходимо уметь отличать одни от других, не тратя времени и труда на программирование и расчеты.

Для этого, нужно сформулировать критерии для оценки качества вычислительных алгоритмов. Эти вопросы и составляют предмет теории численных методов – раздела вычислительной математики, который стал особенно интенсивно развиваться с появлением ЭВМ.

Общая цель этой теории – построение эффективных вычислительных методов, которые позволяют получить решение поставленной задачи с заданной точностью за минимальное количество действий (арифметических, логических), т.е. с минимальными затратами машинного времени.

Вычислительный эксперимент имеет «многовариантный» характер, т.е. решение любой прикладной задачи зависит от многочисленных входных параметров. Получить решение соответствующей математической задачи в виде формулы, содержащей явную зависимость от параметров, для реальных задач, не удается. При использовании методов вычислительного эксперимента каждый конкретный расчет проводится при фиксированных значениях параметров. Проектируя оптимальную установку, т.е. определяя в «пространстве параметров» точку, соответствующую оптимальному режиму, приходится проводить большое число расчетов однотипных вариантов задачи, отличающихся значениями некоторых параметров. Поэтому необходимо, чтобы на один вариант задачи затрачивалось как можно меньше машинного времени.

Третий этап вычислительного эксперимента – создание программы для реализации разработанного алгоритма на ЭВМ. В самом начале формулы алгоритма разбивались на отдельные операции: сложить, разделить, сравнить два числа по величине и т.д., и каждая операция программировалась отдельно.

Поэтому развитие программирования шло по линии упрощения процесса общения человека с машиной, приближения форм этого общения к естественным. Так появились машинные языки, с помощью которых вести диалог с ЭВМ стало существенно легче. Каждый из языков был ориентирован на свой тип машин, на свой класс математических задач.

Программное обеспечение (или математическое обеспечение) современной ЭВМ представляет собой сложную систему, включающую языки, трансляторы, операционные системы, библиотеки стандартных программ и пр. Это обеспечение составляет неотъемлемую часть ЭВМ, часто по стоимости превышающую стоимость собственно оборудования.

Четвертый этап – собственно проведение расчетов на машине. На этом этапе проявляется сходство вычислительного эксперимента с реальным. Если в лаборатории экспериментатор с помощью специально построенной установки задает исследует реальную физическую модель, то специалисты по вычислительному эксперименту с помощью ЭВМ исследуют математическую.

ЭВМ в процессе расчета может выдавать любую информацию, представляющую интерес для исследователя. Точность этой информации определяется достоверностью самой модели. По этой причине в серьезных прикладных исследованиях полномасштабным (или, как говорят, производственным) расчетам предшествуют тестовые расчеты.

Они необходимы для того, чтобы «отладить» программу, т.е. отыскать и исправить все ошибки и опечатки, допущенные при создании алгоритма и его программной реализации. В предварительных расчетах тестируется также сама математическая модель, выясняется, насколько хорошо она описывает изучаемый класс явлений, ее адекватность реальности. Для этого проводится «обсчет» некоторых контрольных экспериментов, по которым имеются достаточно надежные измерения. Сопоставление этих данных с результатами расчетов позволяет уточнить математическую модель, повысить правильность предсказаний на ее основе.

После проведения этой работы в вычислительном эксперименте наступают фаза прогноза – с помощью математического моделирования предсказывается поведение исследуемого объекта в условиях, где эксперименты пока не проводились или где они вообще невозможны.

Пятый этап вычислительного эксперимента – обработка результатов расчетов, их всесторонний анализ и выводы. Эти выводы бывают в основном двух типов: проявляется необходимость уточнения модели или результаты, пройдя проверку на адекватность передаются заказчику. Однако чаще эти две стороны пересекаются – выясняются какие- либо необычные формы протекания изучаемого процесса, неожиданные режимы работы проектируемой установки. Математическая модель модифицируется (усложняется) и начинается новый цикл вычислительного эксперимента.

 

 

Существенной чертой многих современных математических моделей в физике, химии, биологии и пр. является нелинейность, выражающаяся в нелинейности соответствующих уравнений.

Важное свойство линейных задач, облегчающее их исследование и решение, состоит в том, что для них выполнен принцип суперпозиции. Это означает, что сумма двух решений линейного уравнения вновь является решением, и, кроме того, решение, умноженное на любое число, также удовлетворяет уравнению. Как следствие сумма любого числа решений линейной задачи есть решение. Это дает возможность строить решение общей линейной задачи в виде суммы частных, простых, хорошо изученных решений.

Для нелинейных уравнений принцип суперпозиции несправедлив, и вся техника построения решений и виде сумм, столь хорошо развитая для линейного случая, уже не работает. Пользуясь геометрическими образами, можно сказать, что решение линейной задачи в некотором смысле подобно прямой линии – по любому ее отрезку без труда восстанавливается вся линия. Если кривая имеет достаточно замысловатый вид, то представить ее ход нельзя иначе, как решая соответствующее ей уравнение.

Итак, нелинейные задачи представляют большую трудность для изучения и решения. Аналитические методы здесь работают только в единичных случаях. В этой ситуации приходится полагаться лишь на вычислительные методы. Между тем математические модели, порождаемые современными задачами науки и техники, как правило, нелинейны. Это обстоятельство является еще одной причиной того, что вычислительный эксперимент становится практически единственным средством проведения теоретических исследований в прикладных задачах.

Еще один аспект: в технике в свое время был широко распространен метод проектирования исходя из достигнутого. Это означает, что конструктор, создавая, например, новую турбину или котел тепловой электростанции, исходил из опыта своих предшественников. Немного увеличив мощность или другие параметры, он мог достаточно надежно предсказать, как будет работать проектируемое им устройство.

С математической точки зрения при небольших изменениях параметров нелинейность задачи чувствуется слабо, имеется определенное подобие установок новой и старой, что и использует конструктор. Однако когда создаются установки, параметры которых заметно (в несколько раз) отличаются от имеющихся прототипов, подобие исчезает и без предварительного математического моделирования выполнение исходной задачи невозможно. Еще более яркий пример – создание устройств с совершенно новыми принципами и идеями.