Задания для самостоятельной работы. Задача 1. В таблице 1.2 приводятся данные по различным регионам России о среднедушевом прожиточном минимуме в день одного трудоспособного x (руб) и

Задача 1. В таблице 1.2 приводятся данные по различным регионам России о среднедушевом прожиточном минимуме в день одного трудоспособного x (руб) и среднедневной заработной плате y(руб).

Табл. 1.2

Номер варианта	Параметры	Номер региона
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y

Требуется:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи yиx.

2. Построить уравнение линейной парной регрессии; определить для него коэффициент детерминации и среднюю относительную ошибку аппроксимации.

3. На поле корреляции построить график полученной кривой.

4. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результирующим признаком.

5. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и модели в целом, а также построить интервальную оценку коэффициентов линейной регрессии с надежностью 0,95.

6. Выполнить прогноз заработной платы yпри прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x,составляющего 107%от среднего уровня, и оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

7. Построить гиперболическую регрессионную модель зависимости среднедневной заработной платы от среднедушевого прожиточного минимума, вычислить индекс корреляции и детерминации, а также статистическую значимость уравнения регрессии по критерию на уровне .

8. Построить степенную регрессионную модель, оценить её точность по индексу детерминации и средней относительной ошибки аппроксимации и установить значимость уравнения регрессии по критерию (на уровне ).

9. На поле корреляции построить графики полученных нелинейных кривых.

10. Сравнить модели парной регрессии (включая линейную) по индексу детерминации и средней относительной ошибки аппроксимации и выбрать наилучшую.

 

Тема 2. Множественная регрессия

Расчетные формулы.

2.1. Оценки вектора коэффициентов регрессии:

.

2.2. Стандартизованные коэффициенты регрессии:

.

2.3. Средние коэффициенты эластичности:

.

2.4. Стандартная ошибка уравнения:

.

2.5. Стандартная ошибка параметра уравнения:

,

где диагональный элемент матрицы , находящийся на пересечении ()-й строки и ()-го столбца.

2.6. статистики параметров регрессии:

.

2.7. Парные коэффициенты корреляции:

.

2.8. Множественный коэффициент корреляции:

.

2.9. Множественный коэффициент детерминации:

.

2.10. Скорректированный множественный коэффициент детерминации:

.

2.11. критерий Фишера:

.

Если , где определяется по уровню значимости и числу степеней свободы и , то уравнение регрессии значимо в целом.

2.12. Частные критерии для двухфакторной модели:

.

Если наблюдаемое значение больше , определяемого по заданному уровню значимости и числу степеней свободы и , то дополнительное включение фактора в модель статистически оправдано. В противном случае – нет.

 

Решение типовой задачи.

Имеются следующие данные о сменной добыче угля на одного рабочего (т), мощности угольного пласта (м) и уровне механизации работ (%), характеризующие процесс добычи угля на 10 шахтах:

Табл. 2.1

 

Требуется:

1. Полагая, что между переменными , и существует линейная корреляционная зависимость, найти её аналитическое выражение (уравнение регрессии). Пояснить экономический смысл коэффициентов регрессии.

2. Установить раздельное влияние на сменную добычу угля двух факторов через стандартизованные коэффициенты регрессии и средние коэффициенты эластичности.

3. Проверить значимость параметров множественной регрессии и при положительном ответе построить для коэффициентов уравнения регрессии 95% доверительные интервалы.

4. Сравнить значения скорректированного и нескорректированного коэффициентов множественной детерминации и проверить значимость полученного уравнения регрессии на уровне значимости .

5. С помощью частных критериев оценить целесообразность включения в уравнение регрессии фактора после фактора и наоборот – фактора после .

 

Решение выполним в среде MS Excel.

1. Сформируем расчетную таблицу следующей структуры:

№ п/п

Сумма

Среднее

 

Введем исходные данные , , в таблицу по столбцам и рассчитаем колонки , , , , , ,. Вычисляем суммы и средние значения столбцов с помощью встроенных функций СУММ(…) и СРЗНАЧ(…).

Сформируем на свободном поле числовые матрицы:

, ,

где элементы матриц берутся из строки "Сумма" таблицы. Лучше задавать элементы матриц, используя знак "=" формулы Excel и щёлкая мышью по соответствующему элементу строки "Сумма", а затем - Enter.

Находим обратную матрицу с использованием встроенной функции МОБР (…). Для этого выделяем на свободном поле ячейки для элементов обратной матрицы размером . При этом все ячейки, кроме левой верхней, будут окрашены голубым цветом. В ней набираем формулу: =МОБР(.:.), где в скобках через двоеточие указываем крайние левый и правый диагональные элементы матрицы . Далее нажимается клавиша F2 клавиатуры и затем одновременно клавиши "CTRL", "SHIFT" и "ENTER". В указанных ячейках появятся элементы искомой обратной матрицы.

По формуле 2.1 находим вектор оценок с помощью встроенной функции МУМНОЖ (.;.). Выделяем на свободном поле ячейки для (это будет вектор размерности ). В строке или в первой ячейке указанного формата набираем формулу =МУМНОЖ(…;…), где вначале щелкаем по элементам обратной матрицы, а затем через ";" – по элементам вектора . Снова нажимается клавиша F2 клавиатуры и затем одновременно клавиши "CTRL", "SHIFT" и "ENTER".

В итоге в отведенном формате имеем вектор оценок:

.

Таким образом, уравнение регрессии в натуральном масштабе имеет вид:

.

Из него следует, что при увеличении угольного пласта на 1 м добыча угля на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,854 т, а увеличение только уровня механизации на 1% приводит к увеличению в среднем на 0,367 т.

2. Найдем дисперсии и средние квадратические отклонения переменных:

.

Вычислим стандартизованные коэффициенты регрессии по формуле 2.2:

.

Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе записывается:

.

Оно показывает, что с ростом фактора на одно при неизменности второго фактора рост добычи угля на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,724 , а при увеличении только на одно результат увеличивается в среднем на 0,284 . Отсюда видно, что первый фактор оказывает большее воздействие на результат, чем второй фактор.

По формулам 2.3 определим средние коэффициенты эластичности:

.

Таким образом, увеличение по отдельности переменных , на 1% приводит в среднем к росту результата на 1,18% и 0,34% соответственно.

Из этого также следует, что фактор оказывает большее влияние на , нежели фактор .

3. Вычислим предсказанные моделью значения по формуле

и тем самым заполним колонку расчетной таблицы. Далее вычисляются остатки и их квадраты . В итоге в строке "Сумма" колонки таблицы определится остаточная сумма квадратов .

Находим стандартную ошибку уравнения регрессии по формуле 2.4:

.

По формуле 2.5 вычисляем стандартные ошибки параметров уравнения:

С использованием формулы 2.6 определяем статистики параметров:

.

Найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР (…) табличное значение по уровню значимости и числу степеней свободы . Сравнение модулей расчетных значений с табличным указывает на статистическую значимость параметра . Параметры же и не является значимым.

Построим интервальную оценку только для коэффициента . Для этого определим предельную ошибку, которая в 95% случаев не будет превышена:

.

Отсюда получаем искомый доверительный интервал:

.

Из него следует, что с надежностью 0,95 за счет увеличения мощности пласта на 1 м переменная будет увеличиваться по разным шахтам в пределах от 0,333 тонн до 1,375 т.

4. Вычислим парные коэффициенты корреляции по формулам 2.7:

; .

Определим множественный коэффициент корреляции по формуле 2.8:

.

Множественный коэффициент корреляции достаточно высокий, что свидетельствует о существенной линейной зависимости результата от включенных в модель факторов.

Далее по формуле 2.9 находим множественный коэффициент детерминации:

.

Таким образом, на 81% включенные в модель факторы определяют воздействие на переменную , а на все остальные факторы, не включенные в модель, приходится 19%.

Скорректируем коэффициент детерминации по формуле 2.10:

.

Рассчитаем дисперсионное отношение Фишера по формуле 2.11:

.

Табличное значение = определяем с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР по уровню значимости и числам свободы и . Поскольку , то можно сделать вывод о статистической значимости построенной модели.

5. По формуле 2.12 находим частные критерии:

,

.

Табличное значение =5.59 определяем с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР по уровню значимости и числам свободы и . Поскольку , то включение в модель фактора после оказалось статистически оправданным. Но так как , то включение фактора в модель после оказывается бесполезным: влияние на переменную не является устойчивым, систематическим (в этом убедились ранее, признав статистически незначимым).

Отсюда вывод: модель должна содержать только фактор .