Основы расчёта линейных цепей с синусоидальными источниками комплексным методом

1. Линейные цепи с синусоидальными источниками проще всего решать комплексным методом, т.е. переходом от реальных величин к комплексным, а после получения решения – обратно к реальным.

Для этого сначала нужно привести все выражения для источников в исходных данных либо к sin, либо к cos. Т.к. в исходных данных все источники, кроме J (t), выражены через sin, преобразуем cos в sin по следующему закону:

.

Например, .

Решение можно проводить относительно амплитудных или действующих значений синусоидальных источников. Первый способ удобен, когда амплитуда задана конкретным числом (например: 311 В, 4,24 А), а второй способ – когда амплитуда изначально задана в виде произведения на действующее значение (например: 220 В, 3 А).

Т.к. в исходных данных для курсовой работы амплитуды заданы вторым способом, то решение нужно выполнить относительно действующих значений («забыв» на время решения про , «вспомнив» про него только при получении конечных выражений для искомых токов).

Функция является мнимой частью комплексной функции

,

которую в свою очередь можно представить в виде

.

Если в схеме нет постоянных источников и все синусоидальные источники имеют одинаковую частоту, то в составляемых при решении уравнениях все известные (ЭДС и токи источников) и неизвестные (токи в ветвях, контурные токи, потенциалы) содержат так называемый оператор вращения , поэтому и в левой и в правой частях уравнений они сократились бы. Поэтому, и про на время решения можно «забыть».

Окончательно можно сделать замену

,

причём последнее выражение является конкретным комплексным числом.

Расчёт цепи методом комплексных величин (комплексным методом) лишь на первых взгляд усложняет задачу (наряду с sin-составляющей всё время расчёта приходится «тащить» и cos-составляющую, которой на самом деле нет), такой способ расчёта оказывается самым простым для цепей с синусоидальными источниками одинаковой частоты.

2. Решать системы уравнений, получаемые разными методами, нужно с помощью компьютера (с использованием программ Matlab, MathCAD и др.), для этого нужно:

1) получившуюся систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) привести к нормальному виду (в левой части собрать все слагаемые с неизвестными величинами, расположив их в порядке увеличения номеров), а в правой части – все известные слагаемые (константы);

2) записать СЛАУ в векторно-матричной форме

A · x = B, (2)

где A – квадратная матрица коэффициентов при неизвестных величинах размера n × n (n – количество уравнений = количество неизвестных величин); B – вектор-столбец постоянных слагаемых размера n ×1; x – вектор-столбец неизвестных величин размера n ×1;

3) решить систему (2) компьютерным способом по уравнению

x = A ^–1· B. (3)

Например, решение СЛАУ при определённых заранее матрице A и векторе B в программе Matlab выглядит следующим образом:

x = inv(A)*B

а в программе MаthCAD запись выглядит почти так же, как и уравнение (3):

x:= A ^–1· B

3. При обратном переходе от комплексных величин к реальным надо «отбросить» cos-составляющую решения, а также «вспомнить» про и оператор вращения .

Допустим, что решение дало следующее комплексное число:

,

где , ,

тогда искомая величина запишется в виде

.