Постановка задачи
Проверим численным методом «справедливость» формулы бинома Ньютона. Эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам.
Определения:
1. Факториал числа n (лат. factorialis — действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:
Например:
По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
2. Бином Ньютона - формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных
где
–биномиальные коэффициенты (число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k), 
— неотрицательное целое число, а и b — какие угодно числа.
Выражение, которое находится в правой части формулы бинома Ньютона, называют разложением выражения (a+b)n, а выражение 
называют (k+1) -ым членом разложения, k=0,1,2,…,n.
Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени – произвольное рациональное число (возможно, отрицательное). В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд.
Частными случаями бинома Ньютона при n = 2 и n = 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы а и b:
(а + b)2 = а2 + 2ab + b2;
(а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
Пример:
(a + b)5 = a5 + C15 a4b + C25 a3b2 + C35 a2b3 + C45 ab4 + C55 b5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Треугольник Паскаля.
Биномиальные коэффициенты для различных n удобно представлять в виде таблицы, которая называется арифметический треугольник Паскаля. В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:
Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n:
Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять (выделено красным) получено как сумма четверки и шестерки (выделены голубым). Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.
Разрабатываем программу
1. Создаем проект и сохраняем его (Save Project As…)
Файл Unit 1.cpp – сохраняем с именем Main
Файл Project1 сохраняем под именем, как хотим называть файл – exe (Binom).
Компилируем программу и убеждаемся, что проект создан правильно
3. Помещаем на форму три компонента Edit из закладки «Standart» и в свойстве «Text» компонентов записываем нужные нам числа
Создаем новый модуль Unit
и сохраняем его под именем «Function» (в меню пункт «Save»)
Имеем такой модуль
Программируем функцию для вычисления факториала
int Factorial (int n)
{
int F =1;
for (int i =2; i < n+1; i ++)
F = F*i;
return F;
}
