Сущность способа наименьших квадратов

 

 

В камеральных вычислениях государственных опорных сетей большое место занимает уравновешивание, т. е. распределение невязок в целях получения лучших результатов и выполнение геометрических условий. Способ наименьших квадратов является точным методом распределения невязок и нередко требует больших вычислительных действий. Значение и сущность способа наименьших квадратов можно пояснить на свойстве на свойстве арифметической середины.

Пусть имеется ряд равноточных измерений l₁, l₂…..l_n одной и той же и требуется из этого ряда результатов найти значение x от результатов отдельных измерений, т. е.

(l₁-x)²+(l₂-x)²+……+(l_n-x)²=min

известно, что для отыскания минимума функции надо взять первую производную и приравнять ее к нулю, откуда

 

x=[l]/n

 

эта формула показывает, что искомая величина x, найденная под условием минимума суммы квадратов уклонений от отдельных результатов измерений, есть арифметическая середина. Из этого следует, что величина, найденная по принцыпу наименьших квадратов, обладает свойством вероятнейшиго значения. Принципы наименьших квадратов можно применять для решения условных уравнений и отыскания вероятнейшего значения поправок. Допустим, что теодолитном полигоне с n углами невязку f надо распределить так, что-бы сумма квадратов найденных поправок была минимальной. Условное уравнение поправок углов полигона выражается формулой

 

(1)+(2)+(3)+….+(n)+f=0

 

где цифры в скобках- искомые поправки к углам полигона, а f -невязка.

Для отыскания неизвестных поправок по способу наименьших квадратов надо к этому условному уравнению добавить уравнение минимума суммы квадратов. Тогда будет получено два уравнения:

 

(1) + (2)+(3)+….+(n)+f=0

(1)² + (2)²+(3)²+….+(n)²=0

 

Для решения двух уравнений со многими неизвестными надо первое уравнение умножить на (-2k) и сложить со вторым уравнением.

 

(1)² + (2)²+(3)²+….+(n)²-2k(1)-2k(2)-2k(3)-…-2k(n)-2kf=min

Коэффийиент k носит название корреллаты. Для отыскания минимума надо брать производные по каждому неизвестному и приравнивать их к нулю:

 

 

Откуда

 

(1)=k, (2)=k=….=(n)

 

Подставляя эти значения в первое уравнение, полуыим

 

n k+f=0

 

откуда

 

k=-f/n=(1)=(2)…(N)

Из этого следует, что искомые поправки равны между собой - f/n, где n - число углов.

Так решается по способу наименьших квадратов одно уравнение с несколькими неизвестными и коэффициентами при них, равными единицы. Такой вид уравнений имеют условия фигур и горизонта.

При уравновешивании геодезических сетей может возникать несколько условий, выражаемых математическими формулами. В общем виде эти формулы можно выразить уравнениями:

 

a₁(1)+a₂(2)+…..+a_n(n)+f₁=0

b₁(1)+b₂(2)+…..+bc_n(n)+f₁=0

c₁(1)+c₂(2)+…..+c_n(n)+f₁=0

 

где (1), (2),…(т) - искомые неизвестные поправки к углам: a₁,a₂…a_n; b₁,b₂…b_n; c₁,c₂…c_n – коэффициенты, f₁, f₂, f₃ – свободные члены (невязки).

Для уравнений по способу наименьших квадратов надо уравнение умножить на удвоенные коррелаты с минусом (-2k₁,-2k₂, -2k₃ ) и сложить с условием минимума суммы квадратов поправок (1)²+(2)²+….+(n)²=min.

Общий вид уравнения:

 

a₁(1)+a₂(2)+….+a_n(n)+f=0

Здесь a₁, a₂,…a_n – коэффициенты при искомых поправках (1), (2), (3), (n);

f – невязка. Это уравнение надо решать под условием, чтобы сумма квадратов поправок равнялась минимуму.

Вычисление искомых поправок по способу наименьших квадратов выполняется следующим образом:

1. вычисляют коэффициент k – кореллату по формуле

 

k=-(f/åa²)

 

т.е. невязка с обратным знаком делится на сумму квадратов коэффициентов при поправках уравнения.

 

2. поправки решаемого уравнения вычисляют по формулам:

 

(1)=a₁k; (2)=a₂k; (n)=a_nk

В уравнениях поправок фигур треугольников, горизонта и азимутов при искомых поправках коэффициенты равны a=1. Поэтому a²=1. В уравнении поправок треугольников åa=3 и k=-(f/3).

Поправки равны, т. е. (1)=(2)=(3)=-(f/3)

В уравнениях поправок горизонта и азимута коэффициенты a=1 и åa²=n, где n -число поправок уравнения поровну распределяется с обратным знаком на углы. В уравнении поправок синусов и сторон коэффициенты a_i – изменении логарифмов синусов не равных единицы, åa² имеет большое значение.