Теореми двоїстості у випадку наближення кінцевовимірним підпростором

У випадку, коли апроксимуюча множина є кінцевовимірним підпростором, двоїсні співвідношення зовсім легко виводяться із теореми Ханна- Банаха і її наслідків, без застосування теореми відокремлення.

Скрізь X буде позначати лінійний нормований простір, X*- простір, спряжений з X, елементами якого є задані на X лінійні обмежені функціонали f з нормою

Теорема: якщо - фіксована система елементів простору X, то для будь- якого x ∈ X

 

де нижня межа береться по можливим числам , а верхня- по всім функціоналам f ∈ X* з нормою ∥f∥ 1, які перетворюються в нуль на елементах . Верхня грань досягається на деякому функціоналі , =1.

Доведення: нехай F- множина елементів u X вигляду

Таким чином, F є лінійне різноманіття, яке містить не більше ніж n лінійно незалежних елементів, тобто F- кінцевовимірний підпростір в X. Через позначимо множину функціоналів f ∈ X* таких, що f(u)=0 u F. Співвідношення (1), яке ми повинні довести, перепишемо у вигляді

Якщо x F, то (2) тривіальне, адже перетворюється у рівність 0=0. Нехай x F. такий, що

При чому d . Для будь- якого функціонала з нормою маємо

f(x)=f (x)-f ( =f (x- )

так що

З іншого боку, в силу наслідка 2 із теореми Хана- Банаха існує функціонал такий, що =1 і Це означає, що насправді в (3) має місце знак рівності. Теорема доведена.

Теорема: якщо - фіксована система функціоналів з X*, то для будь- якого f ∈ X*

де нижня межа розповсюджена на усі можливі системи чисел , а верхня береться по всім елементам x ∈ X з нормою , на яких перетворюється на нуль кожен із функціоналів

Доведення: позначимо через H множину елементів x ∈ X, для котрих Зрозуміло, що H- замкнене (в силу неперервності ) лінійне різноманіття, тобто підпростір в X.

Наряду з функціоналом f ∈ X* будемо розглядати його звуження на підпростір H, тобто заданий на H лінійний обмежений функціонал такий, що (x)=f(x) для усіх x ∈ H. Очевидно, що

Продовженням функціоналу на весь простір X є не тільки функціонал f, а і будь- який функціонал вигляду

Де - довільні числа, адже якщо x ∈ H, то =0 і = f(x)= (x). Покажемо, що будь- яке продовження функціонала з H на X має вигляд (5). При цьому, не втрачаючи загальності, ми можемо вважати функціонали лінійно незалежними. Існує система елементів біортогональна система функціоналів , тобто така, що якщо k i i 1. Якщо x ∈ X, то елемент

належить H, адже

Таким чином, будь- який елемент x ∈ X можна представити у вигляді

Фіксуємо f ∈ X* і позначимо через продовження функціонала з H на X. Для будь- якого x ∈ X, враховуючи представлення (6), а також те, що будемо мати

тобто функціонал ϕ можна представити у вигляді (5) з

Оскільки при продовжені норма функціонала може тільки збільшуватися, то для будь- якого набору коефіцієнтів

З іншого боку, в силу теореми Хана- Банаха існує продовження функціонала з на X, що зберігає норму, тобто існує система коефіцієнтів для якої

Теорема доведена.

 

 

Співвідношення двоїстості у випадку наближення опуклою замкненою множиною

Теорема: якщо F- опукла замкнута множина лінійного нормованого простору X, то для будь- якого елементу x ∈ X справедливе співвідношення

де - простір, спряжений з X. При кожному x ∈ X\F існує функціонал з нормою =1, який реалізує верхню межу у правій частині (7).

Нехай X це - дійсна площина з прямокутними координатами .

При цьому вважатимемо, що в правій частині (7) верхню межу можна брати тільки за функціоналом таким, що

Лінійний функціонал * визначається вектором a={a₁, a₂} і a₁x₁+a₂x₂ для будь- якого x={x₁, x₂} . Якщо , то | співпадає з відстанню точки x від прямої l(f), на якій , і для опуклої замкненої множини F

 

 

величина , якщо вона невід`ємна, дає відстань точки ( F) від найближчої до неї опорній до F прямої L(f) (рис. 1). Ця відстань в силу опуклості F буде найбільшою, якщо проекція u₀ точки на пряму L(f)= L(f₀) буде належати до F, тобто буде найближчою до точкою на множині F.

Будемо вважати множину F фіксованою і введемо позначення:

E(x)

N(x)

де - замкнена одинична куля в , тобто,

={f:f ∈ X*, ∥f∥≤1}.