Лекція 1.
Тема: Пряма лінія на площині її рівняння та розташування. Економічна інтерпритація.
План лекції
1. Пряма як лінія першого порядку. Загальне рівняння прямої. Дослідження неповного рівняння прямої.
2. Рівняння прямої у відрізках на осях. Параметричні і канонічні рівняння прямої. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом,
3. Кут між двома прямими. Умови перпендикулярності і паралельності двох прямих.
4. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.
1.
З шкільного курсу математики вам відомо, що предметом вивчення геометрії є геометричні об’єкти (точки, лінії, фігури), а предметом вивчення алгебри – числа, рівняння, функції.
Предметом вивчення аналітичної геометрії є вивчення геометричних образів алгебраїчними образами.
Для застосування методів алгебри до розв’язування задач геометрії встановлюється зв’язок між геометричним об’єктом та числами. Способом встановлення такого зв’язку є метод координат, який вперше використав французький математик Рене Декарт (1596-1650).
Основним методом аналітичної геометрії є метод координат.
Таким чином, метод координат дозволяє кожному геометричному образу поставити у відповідність його рівняння, а потім шляхом аналітичного дослідження цього рівняння вивчити властивості цього геометричного об’єкта.
В аналітичній геометрії вивчають дві основні задачі:
1. Складання рівняння геометричного об’єкта, який розглядають як геометричне місце певних точок.
2. Дослідження властивостей геометричного об’єкта за його рівнянням і побудувати його.
Виділяють також дві найпростіші задачі аналітичної геометрії:
1. знаходження відстані між двома точками;
2. ділення відрізка у заданому відношенні.
Кожну пряму на площині можна визначити лінійним рівнянням відносно вибраної системи координат; і навпаки, кожне лінійне рівняння визначає пряму в цій координатній системі.
Рис. 1
Означення 1. Рівнянням лінії L у декартовій системі координат на площині називається рівняння виду
яке задовольняють координати (х, у) у кожній точці цієї лінії і не задовольняють координати жодної іншої точки
Нехай на площині задано пряму L. Складемо ЇЇ рівняння відносно прямокутної системи координат (рис.1). Візьмемо на прямій точку 
, а на площині вектор 
, перпендикулярний до L.
Позначимо довільну точку Lчерез М(х, у). Вектори 
і 
взаємно перпендикулярні. Отже, скалярний добуток їх дорівнює нулеві: 
. або в координатах:
(3.1)
Це і є рівняння прямої L. Воно лінійне.
Розглянемо тепер довільне лінійне рівняння:
Ах+Ву+С=0 (3.2)
і нехай є одна з точок, що лежить на цій лінії.
Підставляючи її координати в рівняння (3.2), дістанемо тотожність
Коли віднімемо цю тотожність, від рівняння (3.2), то отримаємо рівняння:
що виражає ту саму лінію, що і рівняння (3.2), і співпадає з рівнянням (3.1). Але це можливо лише тоді, коли лінія (3.2) пряма. Рівняння (3.2)
Ах+Ву+С=0
називають загальним рівнянням прямої на площині. Вектор , перпендикулярний до прямої L, називають вектором їїнормалі.
Дослідимо, як розміщена пряма відносно системи координат Оху, якщо рівняння (3.2) неповне, тобто коли деякі його коефіцієнти дорівнюють нулю.
Лінію, яка лежить в площині, називається плоскою.
Можливі такі випадки:
1) Якщо коефіцієнт С=0, то пряма проходить через початок координат. Дійсно, в цьому випадку координати точки О(0; 0) задовольняють рівняння (3.2).
2) Якщо В=0, то пряма Ах+С =0паралельна вісі Оу. Справді, вектор її нормалі 
перпендикулярний до цієї вісі.
3) Аналогічно, якщо А= 0, то пряма паралельна вісі Ох, а вектор її нормалі 
перпендикулярний до цієї вісі.
4) Якщо В= С=0, то пряма Ах= 0співпадає з віссю Оу. Отже, х= 0 є рівняння вісі Оу.
5) Якщо А = С= 0, то пряма Ву = 0 співпадає з віссю Ох. Отже, у = 0 є рівняння вісі Ох.
Лінії на площині поділяються на алгебраїчні та трансцендентні. Лінія L, яка задана рівнянням називається алгебраїчною, якщо є є многочленом від (х; у). Лінії, які не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.
Зауваження Іноді замість виразу „ задано рівняння лінії ” будемо вживати вираз „ задана лінія ”.
