Кожну пряму на площині можна визначити лінійним рівнянням відносно вибраної системи координат; і навпаки, кожне лінійне рівняння визначає пряму в цій координатній системі

Лекція 1.

Тема: Пряма лінія на площині її рівняння та розташування. Економічна інтерпритація.

План лекції

 

1. Пряма як лінія першого порядку. Загальне рівняння прямої. Дослідження неповного рівняння прямої.

2. Рівняння прямої у відрізках на осях. Параметричні і канонічні рівняння прямої. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом,

3. Кут між двома прямими. Умови перпендикулярності і паралельності двох прямих.

4. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.

 

1.

З шкільного курсу математики вам відомо, що предметом вивчення геометрії є геометричні об’єкти (точки, лінії, фігури), а предметом вивчення алгебри – числа, рівняння, функції.

 

Предметом вивчення аналітичної геометрії є вивчення геометричних образів алгебраїчними образами.

Для застосування методів алгебри до розв’язування задач геометрії встановлюється зв’язок між геометричним об’єктом та числами. Способом встановлення такого зв’язку є метод координат, який вперше використав французький математик Рене Декарт (1596-1650).

 

Основним методом аналітичної геометрії є метод координат.

Таким чином, метод координат дозволяє кожному геометричному образу поставити у відповідність його рівняння, а потім шляхом аналітичного дослідження цього рівняння вивчити властивості цього геометричного об’єкта.

 

В аналітичній геометрії вивчають дві основні задачі:

1. Складання рівняння геометричного об’єкта, який розглядають як геометричне місце певних точок.

2. Дослідження властивостей геометричного об’єкта за його рівнянням і побудувати його.

 

Виділяють також дві найпростіші задачі аналітичної геометрії:

1. знаходження відстані між двома точками;

2. ділення відрізка у заданому відношенні.

 

Кожну пряму на площині можна визначити лінійним рівнянням відносно вибраної системи координат; і навпаки, кожне лінійне рівняння визначає пряму в цій координатній системі.

Рис. 1

Означення 1. Рівнянням лінії L у декартовій системі координат на площині називається рівняння виду

яке задовольняють координати (х, у) у кожній точці цієї лінії і не задовольняють координати жодної іншої точки

Нехай на площині задано пряму L. Складемо ЇЇ рівняння відносно прямокутної системи координат (рис.1). Візьмемо на прямій точку , а на площині вектор , перпендикулярний до L.

Позначимо довільну точку Lчерез М(х, у). Вектори і взаємно перпендикулярні. Отже, скалярний добуток їх дорівнює нулеві: . або в координатах:

(3.1)

Це і є рівняння прямої L. Воно лінійне.

Розглянемо тепер довільне лінійне рівняння:

Ах+Ву+С=0 (3.2)

і нехай є одна з точок, що лежить на цій лінії.

Підставляючи її координати в рівняння (3.2), дістанемо тотожність

Коли віднімемо цю тотожність, від рівняння (3.2), то отримаємо рівняння:

що виражає ту саму лінію, що і рівняння (3.2), і співпадає з рівнянням (3.1). Але це можливо лише тоді, коли лінія (3.2) пряма. Рівняння (3.2)

Ах+Ву+С=0

називають загальним рівнянням прямої на площині. Вектор , перпендикулярний до прямої L, називають вектором їїнормалі.

Дослідимо, як розміщена пряма відносно системи координат Оху, якщо рівняння (3.2) неповне, тобто коли деякі його коефіцієнти дорівнюють нулю.

Лінію, яка лежить в площині, називається плоскою.

 

Можливі такі випадки:

1) Якщо коефіцієнт С=0, то пряма проходить через початок координат. Дійсно, в цьому випадку координати точки О(0; 0) задовольняють рівняння (3.2).

2) Якщо В=0, то пряма Ах+С =0паралельна вісі Оу. Справді, вектор її нормалі перпендикулярний до цієї вісі.

3) Аналогічно, якщо А= 0, то пряма паралельна вісі Ох, а вектор її нормалі перпендикулярний до цієї вісі.

4) Якщо В= С=0, то пряма Ах= 0співпадає з віссю Оу. Отже, х= 0 є рівняння вісі Оу.

5) Якщо А = С= 0, то пряма Ву = 0 співпадає з віссю Ох. Отже, у = 0 є рівняння вісі Ох.

 

Лінії на площині поділяються на алгебраїчні та трансцендентні. Лінія L, яка задана рівнянням називається алгебраїчною, якщо є є многочленом від (х; у). Лінії, які не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.

 

Зауваження Іноді замість виразу „ задано рівняння лінії ” будемо вживати вираз „ задана лінія ”.