Исходные данные:
Двутавр №16 (ГОСТ 8239-72)
Равнобокий уголок 80 x 80x 6 (ГОСТ 9509-72)
Прямоугольник 200 x 20
РЕШЕНИЕ
1) Расположим составное сечение (рис.6) в первой четверти координатной плоскости 
(чтобы в дальнейшем не ошибиться со знаками вычисляемых геометрических характеристик).
2) Пронумеруем фигуры:
прямоугольник - (фигура 1), двутавр - (фигура 2), равнобокий уголок - (фигура 3).
Проведем для каждой фигуры собственные центральные оси 
(рис.6, рис.11).
Для прямоугольника и двутавра эти оси будут и главными осями, так как у каждой из этих фигур есть оси симметрии.
Для каждой фигуры найдем все необходимые геометрические характеристики и координаты центра тяжести относительно первоначальных осей .
а) Прямоугольник (фигура1)
=200мм=20см,
=20мм=2см,
,
, 
(т.к. оси 
являются главными центральными).
б) Двутавр № 16 (фигура 2)
(т.к. оси 
являются главными центральными).
Замечание: при выборе 
для двутавра и швеллера необходимо учитывать, что их табличное расположение может отличаться от рассматриваемого. В частности если имеем:
а ) вертикальное расположение швеллера(двутавра), то:
б ) г оризонтальное расположение швеллера (двутавра),то:
в)Равнобокий уголок 80x80x6 (фигура 3)
(т.к. оси 
являются главными центральными для равнобокого уголка).
Определим центробежный момент 
. Для этого воспользуемся первым (или вторым) соотношением из (14). Знак угла 
определяется направлением поворота от центральной оси к главной.
, если поворот от оси 
к оси 
происходит по часовой стрелке;
, если поворот от оси 
к оси происходит против часовой стрелки;
Подставляя в первое соотношение из (14), получим:
Таким образом, центробежный момент относительно центральных осей 
равен 
.
Замечание: знак центробежного момента относительно осей 
(см.рис.10) определяется в зависимости от расположения уголка относительно этих осей.
Для уголка в нашем примере (см на рис.10а)), большая часть сечения (заштрихованная) расположена в 1-oй четверти где 
и в 3-ей четверти, где 
.
Таким образом, по определению (
) для всего сечения центробежный момент 
.
г) Определим координаты центров тяжести 
, 
у каждой фигуры относительно первоначальных осей :
3) Вычислим координаты центра тяжести всей фигуры относительно первоначальных осей , т.е. координаты 
:
По координатам 
находим точку 
относительно и через нее проводим центральные оси 
, параллельно первоначальным осям (рис.11).
4) Вычислим моменты инерции каждой простой фигуры относительно первоначальных осей по формулам параллельного переноса (10) и просуммируем моменты инерции согласно (11).Таким образом:
Таким образом, 
Так, 
Просуммируем, 
5) Вычислим моменты инерции всего сечения относительно центральных осей 
и 
по формулам (12):
6) Определим положение главных центральных осей сечения 
. Главная центральная ось сечения 
расположена под углом 
к центральной оси согласно (13):
(17)
Таким образом, главные центральные оси 
повернуты относительно центральных осей на угол 
(см. рис.11) против хода часовой стрелки (так как угол положителен).
7) Вычислить главные моменты инерции сложного сечения по (14):
(18)
Проверка арифметических вычислений в (17) и (18).
а) Из последнего соотношения (14):
б) Согласно соотношениям (16):
,
Таким образом, имеет место равенство:
Итак, 
8). Определим моменты инерции относительно центральных осей 
, расположенных под углом 
(
) к главным центральным осям .
Согласно соотношениям (15):
9) Произведем проверку последних вычислений:
10) Вычислим радиусы инерции сечения относительно главных осей.
- откладываем на оси 
от точки
- откладываем на оси 
от точки
На этих осях строим эллипс инерции (рис.11)
Заключение
1) Положение главных центральных осей 
, показано на рис.11. Главные моменты инерции сечения равны 
2) Положение эллипса инерции сечения говорит о том, что при изгибе балки в направлении оси 
ее жесткость и прочность будут наибольшими, а при изгибе в направлении оси - наименьшими.
Примечание
Данная задача может быть легко алгоритмизирована и записана в виде программы для ЭВМ. Этот пример был проcчитан с помощью пакета Mathematica 5 (см. Приложение 2
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ
