Способы задания прямой
I. Пусть d – какая-либо прямая в пространстве, точка 
, 
и 
.
– направляющий вектор прямой.
Тогда произвольная точка 
. По теореме о коллинеарных векторах верно равенство 
, 
, (1)
это векторно-параметрическое уравнение прямой.
Таким образом, чтобы задать прямую d, достаточно задать одну ее точку 
и направляющий вектор . Обозначение: 
.
Уравнение (1) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками прямой d и значениями параметра 
. Параметр t является координатой точки M в системе координат 
на прямой d.
Введем аффинную систему координат 
в пространстве. Тогда 
, 
, 
.
Из (1), переходя к координатам, имеем: 
или 
(2)
Обратно, из (2) следует (1). Значит, (2) определяет прямую d в пространстве. Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями прямой.
II. Пусть в уравнениях (2) 
. Из (2) выразим t:
. (3)
а) Пусть одна какая-либо координата вектора равна нулю, например, 
.
Тогда из (2) следует система уравнений: 
. (3')
Здесь, т.к. , то || (XOY), а, значит, и d || (XOY).
б) Пусть две координаты направляющего вектора равны нулю, например, 
.
Из (2) следует система: 
. (3'')
Тогда || (OX), а, значит, и d || (OX).
Уравнения (3), (3'), (3'') называются каноническими уравнениями прямой.
III. Прямая d однозначно определена, если заданы две ее точки, например, 
, 
. Тогда за направляющий вектор 
можно принять вектор 
. Пусть в репере 
введены координаты 
, 
, значит, 
.
Из системы (2) получим 
, или, выделяя из каждого уравнения t и приравнивая, имеем: 
. (4)
IV. Прямая может быть задана как пересечение двух плоскостей 
.
Пусть в репере 
плоскости заданы уравнениями
(5)
И ранг матрицы 
равен 2 (т.к. 
).
Тогда система уравнений (5) определяет прямую d.
Замечание: Рассмотрим векторы нормалей к плоскостям 
и 
. Тогда вектор 
будет параллелен d. Т.е. можно считать направляющим вектором прямой d вектор 
. Координаты его можно определить 
.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть в репере прямая d задана параметрически
(1)
а плоскость α задана общим уравнением: 
. (2)
Будем искать общие точки прямой и плоскости, т.е. решения системы уравнений (1) и (2). Подставим (1) в (2) и сгруппируем по t:
. (3)
Могут быть следующие случаи:
1. Система уравнений (1), (2) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда (3) имеет единственное решение: 
. (4)
Т.е. условие (4) является необходимым и достаточным условием пересечения прямой d и плоскости α.
В 
выражение (4) имеет следующий геометрический смысл:
1) если 
– направляющий вектор прямой d и 
– вектор нормали плоскости α, то 
по (4), а, значит, 
и 
не перпендикулярны;
2) прямая d ^ α 
, т.е. когда ранг матрицы 
равен 1.
2. Система из (1) и (2) не имеет решений тогда и только тогда, когда (3) не имеет решений, т.е. когда
(5)
Условия (5) являются критерием того, что d и α не имеют общих точек.
В прямоугольной системе координат они означают, что 
.
3. Система уравнений (1) и (2) имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда уравнение (3) удовлетворяет любым значениям t, т.е. когда
(6)
Значит, условия (6) являются критерием того, что 
.
В прямоугольной системе координат система (6) означает, что 
, 
и 
.
Из (5) и (6) заключаем, что 
.
Взаимное расположение двух прямых в трёхмерном пространстве
Пусть имеются две прямые 
и 
, каждая из которых задана точкой и направляющим вектором с координатами в аффинной системе координат : 
, 
, 
, 
.
1. Прямые d и d ¢ лежат в одной плоскости 
– компланарны., то есть в координатной форме:
или смешанное произведение 
.
Пусть d и d ¢ лежат в одной плоскости, тогда они пересекаются или параллельны.
а) 
и 
– неколлинеарны 
ранг матрицы 
равен 
.
б) 
и 
.
Параллельность прямых распадается на два случая:
*) Если 
неколлинеарны, то отсюда следует, что 
.
**) Если 
.
Методом от противного можно доказать достаточность этих условий.
2. Прямые d и d ¢ не лежат в одной плоскости, значит, они скрещиваются. Тогда 
или 
.
Угол между прямой и плоскостью
Определение. Углом между прямой d и не перпендикулярной к ней плоскостью α называется острый угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией d ´ на плоскость α.
Пусть в 
: 
(1)
, (2)
где d и α не перпендикулярны.
Обозначим 
, где 
– ортогональная проекция d на α; 
, где 
, 
.
Если φ – острый угол, то 
и 
.
Если φ – тупой угол, то 
и 
.
Тогда 
.
Значит, 
.
Угол между двумя прямыми в пространстве
Пусть в 
прямые 
заданы каждая точкой и направляющим вектором: 
, 
, 
, 
.
Определение. Угол между прямыми d и d ´ в пространстве определяется как угол между прямыми, параллельными данным и проходящими через одну точку.
Его величина может быть найдена как величина угла между направляющими векторами данных прямых по формуле:
.
Следствие: 
.
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Пусть в прямая 
задана точкой и направляющим вектором: , и дана точка 
.
Построим 
, достроим параллелограмм MM 0 NK, тогда 
, где h – высота параллелограмма, S – площадь параллелограмма.
Уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых
Пусть в прямые 
заданы каждая точкой и направляющим вектором: , 
, 
, 
.
Тогда из критерия компланарности векторов 
следует, что
.
Необходимо найти уравнение прямой m такой, что 
. Тогда 
, тогда можно рассмотреть 
, и пусть 
.
Прямую m будем искать как пересечение плоскостей α и β:
,
.
Рассмотрим плоскость α: 
(а значит 
) 
. Следовательно, векторы 
– компланарны, то есть
.
Аналогично 
.
Тогда искомый перпендикуляр – прямая m, задается системой уравнений плоскостей α и β.
Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми
Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина отрезка общего перпендикуляра, заключенного между данными прямыми.
Пусть в прямые 
заданы каждая точкой и направляющим вектором: , , , .
Тогда 
. Здесь – направляющий вектор общего перпендикуляра двух данных прямых.
