Маятник з двома точками підвісу. Дослідження фігур Ліссажу

Лабораторна робота №1

ДОСЛІДЖЕННЯ ФІГУР ЛІСАЖУ

Мета роботи: ознайомлення з принципом роботи маятника з двома точками підвісу та фігурами Лісажу.

Основні положення

Маятник — тіло, свобода руху якого в полі тяжіння обмежена підвісом в одній точці. Маятник може здійснювати коливальні й обертальні рухи.

Маятник характеризується періодом коливань (часом, необхідним для здійснення одного повного коливального руху) і амплітудою — найбільшим кутом відхилення маятника від положення рівноваги.

Розрізняються такі види маятників:

1. Математичний маятник— важка матеріальна точка (практично тіло малих розмірів), підвішена на невагомому нерозтяжному стрижні до нерухомої точки, яка здійснює під впливом сили тяжіння коливання по дузі кола. У моделі математичного маятника коливання здійснюються в площині.

2. Фізичний маятник — абсолютно тверде тіло, закріплене в одній точці, яка не є його центром інерції, на нерухомій горизонтальній осі, навколо якої воно може під дією сили тяжіння здійснювати коливальні рухи.

На відміну від простих моделей рух реального маятника складний. Крім коливань в одній площині, підвішене на нитці тіло може здійснювати також колові рухи. Крім того воно може крутитися навколо власної осі (крутильний маятник).

Звичайний, добре знайомий вам математичний маятник не змінює площини своїх коливань (рис. 1.1).

На властивості, що маятник не змінює площини коливання заснована відома демонстрація обертання Землі - досвід Фуко. Маятник на довгому підвісі робить коливання. Під ним розмічене коло, що нагадує циферблат. Завдяки тому, що площина коливань маятника відносно нерухомих зірок не змінюється, а Земля обертається навколо своєї осі, з плином часу маятник проходить послідовно над усіма відмітками кола. На полюсі за добу коло під маятником зробить повний оберт. Вперше такий досвід був проведений французьким фізиком Л. Фуко в 1851 році під куполом Пантеону в Парижі з маятником довжиною 67 м.

Розглянемо приклад маятника на рис. 1.1

У маятника з однією точкою підвісу (рис. 1.1) площину коливань нічим не виділена. Яким би не було початкове відхилення маятника, всі сили, що діють на нього, лежать в одній площині. Потрібно тільки, відпускаючи маятник, не штовхнути його убік.

Дійсно, проведемо площину через початкове і відхилене положення маятника. Очевидно, в цій площині будуть лежати як сила тяжіння mg, так і сила натягу нитки Т. Отже, рівнодіюча цих сил, яка, власне, і змушує маятник коливатися, при будь-якому відхиленому положенні маятника також лежить в тій же площині. Це означає, що немає сил, які могли б вивести маятник з цієї площини. Тому-то маятник і зберігає площину своїх коливань.

Рис. 1.1 Приклад маятника з однією точкою підвісу

Маятник з двома точками підвісу. Дослідження фігур Ліссажу

Розглянемо маятник з двома точками підвісу (рис. 1.2 а). Тут точками закріплення і лінією схилу строго фіксована початкова площина. Тому з самого початку маятник відхилений так, що він не лежить у цій площині). Сила натягу (рис. 1.2, в) має складову, перпендикулярну початковій площині. Завдяки цієї складової рух маятника виходить з початкової площині. При цьому, оскільки сила натягу не постійна, змінюється і її перпендикулярна складова. Далі, відхиляючись в протилежну сторону, маятник натягує іншу із закріплених ниток. Це призводить до появи сили, що діє в іншому напрямку. При цьому, як показує досвід, і виникає рух по двох взаємно перпендикулярних напрямах.

а б

Рис. 1.2 Приклад маятника з двома точками підвісу:

а) положення рівноваги; б) відхилення від положення рівноваги

Криві, які описує наш маятник, називаються фігурами Ліссажу, по імені французького фізика Ліссажу, який в 1863 році вперше описав їх. Фігури Ліссажу отримують при додаванні двох взаємно-перпендикулярних коливань. Вони можуть бути досить складними, особливо при близьких частотах поздовжніх і поперечних коливань. Якщо частоти однакові, траєкторією руху буде еліпс. Фігура, що зображена на рис. 1.3, описується маятником, рівняння руху якого виглядають наступним чином:

, (1.1)

Рисунок 1.4 відповідає рівнянні руху маятника:

(1.2)

Рис. 1.3 Фігура, що описується маятником за законом 1.1

Рис. 1.4 Фігура, що описується маятником за законом 1.2

Співвідношення частот можна варіювати, змінюючи відношення довжин вертикальної і похилій ниток підвісу. При цьому обчислити частоти коливань маятника досить складно, а от побачити фігури, що ним викреслюються, значно простіше.

Для того щоб побачити фігури Ліссажу, можна до підвісу нашого маятника прикріпити відерце з дірявим дном, наповнене піском, а на підлогу покласти шматок картону, пофарбований у темний колір. Тоді маятник «намалює» виразну траєкторію свого руху.

У дослідах з маятником слід враховувати, що більш-менш правильна траєкторія виходить тільки в тому випадку, коли немає сильних загасань. Коливання маятника з малою масою вантажу і досить великим об’ємом будуть швидко затухати. Такий маятник хитнеться кілька разів, швидко зменшуючи амплітуду. Природно, при русі з сильним загасанням побачити і сфотографувати зміну напрямку коливань маятника не вдасться.