Производная от интеграла по его верхнему пределу.
Теорема Барроу.
Пусть в определенном интеграле нижний предел постоянный, а верхний изменяется, тогда будет изменяться значение интеграла, т.е. при рассмотренном условии интеграл есть функция своего верхнего предела.
При постоянной а, этот интеграл будет собой представлять функцию верхнего предела
Теорема Барроу: Если f(x) – непрерывная функция на [a;b] и - функция верхнего предела, то тогда от x 
{производная от функции верхнего предела равна подынтегральной функции}.
Доказательство: Пусть 
-приращение аргумента 
,тогда приращение функции Ф(х) будет равно:
{по условию}= 
{для первого слагаемого в алгебраической сумме применим св-во 3}= 
{св-во 11(т. О среднем)}= 
{с учетом 
}= 
{по условию f(x) – непрерывная функция}.
Из теоремы Барроу следует что
Формула Ньютона – Лейбница
Теорема: Если 
Если F(х) – есть какая-либо первообразная от функции f(х), которая непрерывна на [a,b], тогда справедлива формула Н.-Л.
Доказательство: Пусть F(x) – некоторая первообразная от функции f(x), то по теореме Барроу 
Две любые первообразные от данной функции отличаются на постоянное слагаемое – С.
Воспользуемся 
{ 
знак двойной подстановки}
По св-ву 12 (
) и получим формулу Н. – Л.
Вывод: формула Н.- Л. позволяет вычислить определенный интеграл в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.
Примеры:
1) 
2)Вычислить среднее значение функции: f(x)=x на отрезке [0,n/2]
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], t - новая переменная, такая что x=g(t).
Пусть функция g(t) – непрерывна на отрезке [ 
], имеет
1) 
- непрерывную производную на этом отрезке.
2) 
3) 
тогда справедлива формула замены переменой в определенном интеграле.
6.5.1
Доказательство: Пусть F(x) первообразная для f(x) по определению первообр.
Интегрируя оба равенства в пределах от a до b получаем
по формуле Н. – Л.
По условию 2 теоремы: Правые части последующих выражений равны, то равны и левые—что и доп. формулу замены переменной в определенном интеграле.
Замечание: при вычислении определенного интеграла по 6.5.1 к старой переменной не возвращаемся.
Примеры:
1) 
= 
2) Формула дл интеграла по симметричному отрезку от -а до а
=
четная функция
нечетная функция
3) 
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Пусть U(x), V(x) 
Докажем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле
- формула интегрирования по частям.
Пример:
= 
Несобственные интегралы
В определенном интеграле 
1)[a,b]
2) 
Возникает необходимость распространить определенный интеграл на случай:
1)бесконечного промежутка интегрирования
2)разрывной подынтегральной функции
Признаки сходимости несобст-ых Интег-ов с бесконечн. Предел.
Т.1 Если для 
x 
;
Т.2 Для случая ф-ии х 
выполняется неравенство 0 
и
-расходятся.
Т.3 для случая ф-ия f(x) имеющий знак в бесконечном промежутке,
Если 
dx 
, 
этот 
абсолютно сходящийся.
6.7.2 
от неограниченных ф-ий. Несобственный 2-го рода.
Сущ-ет у=f(x) определена и непрерывна для всех х принадлежащих на [a,b) в (.) х=b либо определена, либо имеет бесконечный разрыв.
Определение 
ф-ии f(x) в (.) по определению равен:
(6.7.2.1)
Если предел в правой части сущ-ет и конечен, то несобственный 
наз-ся Сходящимся, в противном случае (предел не сущ-ет или = 
, наз-ся Расходящимся.
Пусть ф-ия у=f(х) не прерывна на 
[a,b] в (.) х=с ф-ия или неопределенно либо имеет бесконечн разрыв, то по определению 
, 
, то,
(6.7.2.2)
Если предел в правой части сущ-ет и конечен, то Интег-ал назыв-ся Сходящимся, в противном случае Расходящимся!
Если ф-ия у=f(x) имеет бесконечный разрыв в (.) х=с или неопределена, где а 
с b, тогда
(6.7.2.30)
Если сходится одновременно оба Интег-ла в Прав. Части, то сходится Интег-л и в левой части. Если хотя бы один из Интег-лов в Прав-й части расходится, то расходится и Интег-л в левой части.
Если функция у=f(x) на отрезке [a,b], где она определена и непрерывна, и имеет конечное число (.) разрыва 
тогда несобственный Интеграл определяется следующим образом: 
Если каждый из несобственных 
в правой части равенства сходится, то сходятся в левой части, если хотя бы один из них расходится, то расходится и исходный .
Признаки сходимости несобственных от разрывных фун-ий.
Т.1 Если на промежутке [a,b) ф-я у=f(x) и g(x) определены и непрерывны в (.) x=b эти ф=ии имеют разрыв для всех 
, 
Из геометрич. смысла определённого интеграла для областей задаваемых соотношениями a 
x b, y1(x) 
y y2(x) справедлива формула для вычисления S области, ограниченной графиками ф-ий y1(x), y2(x) и прямыми x=a, x=b.
Если область задана с соотношениями c y d, g1(y) x g2(y), то
Если прямая линия задана параметрически 
,x(t), y(t) 
, непрерывн. диф. на отрезке 
. x(
=a; x(
)=b
6.9 Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат.
Пусть линия огранич. плоскую фигуру задана в полярной системе координат.
Пример: Вычислить длину окружности: x2+y2=R2
Вычислить длину 4-ой части окружности, расположенной в I квадранте(х≥0, y≥0):
Если уравнение кривой задано в параметр-ой форме: 
, функции x(t), y(t) определены и непрерывны вместе со своими производными на отрезке [α,β]. Производная 
, тогда сделав подстановку 
в формулу: 
и учитывая что 
получим 
внесем множитель 
под знак корня и получим окончательно 
Замечание: Задана плоская кривая, можно также рассматривать функцию, заданную параметр-ки в пространстве, тогда добавится функция z=z(t) и формула 
Пример: Вычислить длину астроиды, которая задаётся уравнением: x=a*cos3(t), y=a*sin3(t), a>0
Вычислить длину 4-ой части:
по формуле
Длина дуги плоской кривой, заданной в полярной системе координат:
Пусть в полярной системе координат задано уравнение кривой: 
- непрерывная функция, вместе со своей производной на отрезке [α,β].
Формулы перехода от полярных координат:
рассматривать как параметрические:
ϕ - параметр, по ф-ле
2 
Пр: Вычислить длину кривой: 
>0
З -ние: вычислим половину длины окружности:
Объём тела, вычисляемый по площади поперечного сечения тела.
Пусть задано тело, ограниченное замкнутой поверхностью и пусть известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох. Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости.
пусть все тело заключено между 2-мя перпендикулярными к оси Ох плоскостями, пересекающими её в точках х=а, х=b (a<b)
Для определения объёма такого тела разобьём его на слои с помощью секущих плоскостей, перпендикулярных к оси Ох и пересекающих её в точках 
. В каждом частичном промежутке 
. Выберем
и для каждого значения i=1,….,n построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна Ох, а направляющая представляет собой контур сечения тела плоскостью х=Сi, объем такого элементарного цилиндра с площадью основания S=Ci и высотой ∆хi . Vi=S(Ci)∆xi. Объём всех таких элементарных цилиндров будет 
. Предел этой суммы, если он существует и конечен при max ∆х à 0 называется объёмом данного тела.
. Так как Vn интегральная сумма для непрерывной на отрезке [a,b] функции S(x) то указанный предел существует (т-ма существования) и выражается опр. Интегралом.
- объём тела, вычисляемый по площади поперечного сечения.
Объём тела вращения:
Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осью Ох и прямыми x=a, x=b.
Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и неотрицательна на нем, тогда сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной Ох есть круг, радиусом R=y(x)=f(x). Площадью круга S(x)=Пy2(x)=П[f(x)]2.Подставляя формулу получим формулу для вычисления объёма тела вращения вокруг оси Ох:
Если же вокруг оси Оу вращается криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на [c,d] функцией 
, то объём такого тела вращения:
Этот же объём может быть вычислен по формуле: 
. Если линия задана параметрическими уравнениями: 
Делая замену переменной получим:
Если линия задана параметрическими уравнениями: 
y(α)=c, y(β)=d. Делая замену y=y(t) получим:
Вычислить 
тела вращения вокруг оси ОУ параболы 
, 
.
1способ:
2способ:
2)Вычислить V тела вращения вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной прямой у=0, дугой 
(с центом в точке(1;0), и радиусом=1), при 
.
