В начертательной геометрии очень часто решаются задачи на определение каких-либо метрических величин объектов по их проекциям. Одной из самых распространенных задач является задача на определение натуральной величины прямой общего положения по ее проекциям. Существует несколько способов решения этой задачи, одним из которых является способ прямоугольного треугольника, используемый в различных комплексных, обобщенных задачах начертательной геометрии, например, при определении расстояний между двумя точками пространства, а также истинной длины ребер многогранников, сторон многоугольников и т. д.
Представим в пространстве прямую общего положения, заданную отрезком АВ, расположенную произвольно. Углы наклона отрезка к каждой плоскости проекций разные, и, следовательно, на каждую плоскость проекций отрезок АВ отображается с разным искажением. Из рис. 25, а можно заключить, что отрезок АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника АВ1, в котором один катет равен проекции отрезка А1, а другой катет равен разности расстояний концов отрезка АВ до плоскости П1,т. е.равен отрезку В1 = ВВ1 – АА1.
а б
Рис. 25
Угол прямой линии с плоскостью проекций определяется как угол, составленный прямой с ее проекцией на данной плоскости. Этот же угол входит в тот же прямоугольный треугольник, который строят для определения натуральной величины прямой или отрезка прямой линии. На рис. 25, а и б этим углом является угол a.
Если известны катеты треугольника АВ1, то его можно построить в любом месте чертежа. Обычно используют какую-либо проекцию отрезка. На рис. 25, б для нахождения натуральной величины отрезка АВ прямоугольный треугольник построен на плоскости П1. Для этого из точки В1 восстановлен перпендикуляр к проекции А1В1, на этом перпендикуляре отложена разность расстояний концов отрезка АВ до плоскости П1 (ВВ1 = ВВ1 – АА1). Отрезок А11’ на плоскости проекций будет определять натуральную величину отрезка АВ. В данном случае угол a является углом наклона отрезка АВ к плоскости проекций П1.
Этот метод определения натуральной величины прямой общего положения получил название метода прямоугольного треугольника, и его можно сформулировать следующим образом: натуральная величина отрезка прямой есть гипотенуза прямоугольного треугольника, одним катетом которого является какая-либо проекция этого отрезка, а другим – разность расстояний концов отрезка до плоскости проекций.
Угол наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций П1 принято обозначать символом a, к фронтальной плоскости проекций П2–b, профильной плоскости –g.
Рассмотренная схема применяется для нахождения натуральной величины прямой общего положения на эпюре Монжа для любой плоскости проекций. Данный метод используется также для решения задач с различными вариантами заданных условий. Например, на рис. 26 дано решение задачи, при котором натуральная величина прямой определяется на профильной плоскости проекций.
Рис. 26
Для этого к профильной проекции прямой С3К3 из точки С3 восстанавливают перпендикуляр C31’. Длина перпендикуляра будет равна разности отрезка СК до профильной плоскости проекций, т. е. отрезку С21, который равен разности C2Cz – K2Kz. На профильной плоскости проекций соединяют точки К3 и 1’, получая тем самым натуральную величину отрезка СК. Угол g между проекцией отрезка и его натуральной величиной будет определять угол наклона отрезка СК к профильной плоскости проекций.
На рис. 27 рассмотрено решение задачи, в которой нужно построить горизонтальную проекцию отрезка ВС, если задана его фронтальная проекция и угол b– угол наклона отрезка ВС к фронтальной плоскости проекций –П2.
Рис. 27
На рис. 27, а представлено условие задачи, на рис. 27, б решение. Для решения задачи из точки К2 восстановлен перпендикуляр к проекции С2К2 и продолжен до точки 1. Отрезок С21 будет определять натуральную величину отрезка СК, следовательно, отрезок К21 будет равен разности концов отрезка СК до фронтальной плоскости проекций. Для построения горизонтальной проекции отрезка СК из точки С1 проведем линию, параллельную оси х, на продолжении линии связи от точки 1’ вниз отложим расстояние равное отрезку К21, и получим точку К1. Соединив точки С1 и К1, получим горизонтальную проекцию отрезка СК, что и требовалось для решения задачи.
Вопросы для самопроверки
1. Какая прямая называется прямой общего положения?
2. Какие прямые называются прямыми частного положения?
3. Какие прямые называются прямыми уровня?
4. Вставьте пропущенное слово: «Горизонталью называется прямая, … горизонтальной плоскости проекций».5. Проекции какой прямой располагаются всегда вертикально одновременно на горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций?
