Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Лекция 3. Прямая на плоскости

Содержание

1. Различные уравнения прямой линии на плоскости

1.1.Общее уравнение прямой

1.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

1.3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

2. Угол между прямыми

3. Расстояние от точки до прямой

 

 

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Уравнением линии на плоскости называется уравнение с двумя переменными и , которому удовлетворяют координаты любой точки , лежащей на линии.

Входящие в уравнение координаты и произвольной точки линии называются текущими координатами. Координаты точки, не лежащей на линии, не удовлетворяют данному уравнению.

Пример 1. Лежит ли точка на линии, заданной уравнением ?

Решение. Подставим координаты точки в уравнение линии: . Так как , то точка не лежит на линии.

Теорема. В декартовой системе координат на плоскости всякое уравнение первой степени относительно и определяет прямую линию. Обратно: прямая на плоскости может быть задана уравнением первой степени относительно и .

Одна и та же прямая линия может быть описана несколькими видами линейных уравнений с двумя переменными.

Общее уравнение прямой

Если известен ненулевой вектор , перпендикулярный прямой , то уравнение вида называется общим уравнением прямой .

 

 

 

 

Здесь А, В, С – действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю. Коэффициенты , при переменных и в общем уравнении прямой являются координатами вектора , перпендикулярного прямой, который называется нормальным вектором прямой.

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Здесь А=2, В=5, поэтому уравнение запишется так: . Подставим в уравнение , , получим . Отсюда . Уравнение прямой: .

Для построения прямой нужно знать две ее точки. Подставим в уравнение прямой значение : , то есть . Точка принадлежит этой прямой. Подставим в уравнение прямой значение : . Отсюда . Точка принадлежит прямой.

Отметим точки и на координатной плоскости и проведем через них прямую.

 

 

 

Прямая

 

Уравнение задает прямую, проходящую через начало координат.

Уравнения и - это уравнения осей координат.

Уравнения и задают прямые, параллельные осям координат и соответственно.

Прямая делит плоскость на две полуплоскости. В одной из них выполнено условие , в другой – условие .

 

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

· Углом наклона прямой к положительному направлению оси ОХ называется угол , на который надо повернуть ось ОХ против часовой стрелки до совпадения с прямой.

Введем обозначения: , отрезок .

· Уравнение прямой с угловым коэффициентом

.

 

 

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси ОХ: .

Для прямой, параллельной оси абсцисс, угловой коэффициент и уравнение прямой .

Для прямой, проходящей через начало координат, и ее уравнение .