Нехай сферична поверхня радіусу r з центром в точці С розділяє два середовища з показниками заломлення n і n’ (рис. 2.0). Оптична вісь перехрещується з поверхнею в точці О, що називається вершиною поверхні. Промінь, що виходить із точки S заломлюється на поверхні в точці М і перехрещується з оптичною віссю в точці S’. позначимо положення точок S і S’; згідно правилу знань, відрізками – а і а’, а кути між променями і оптичною віссю – и і и’.
Для параксіальних променів дугу ОМ можна замінити прямолінійним відрізком КМ=h, а закон заломлення записати виразом
(2.15)
Із D МС і DМС, враховуючи правило знань, справедливо записати, що
(2.16)
(2.17)
Підставляючи (2.16) і (2.17) в (2.15), отримаємо
(2.18)
Враховуючи малість кутів, можна записати
, 
, 
(2.19)
З урахуванням (2.19) вираз (2.18) має вигляд
або
(2.20)
Формула (2.20) називається нульовим інваріентом Аббе. Із неї можна отримати фокусну відстань однієї сферичної поверхні. Так, для променів, що йдуть із простору предметів паралельно оптичній осі, тобто а=¥ і а’=f’, із (2.20), отримаємо
Звідки задня фокусна відстань
, (2.21)
якщо ж а’=¥, то а=f і тоді із формули (2.20) передня фокусна відстань заломлюючої поверхні
(2.22)
Відношення фокусних відстаней дає
, (2.23)
тобто відношення фокусних відстаней заломлюючої поверхні відповідно пропорційні показником заломлення середовищ, що розділяються нею.
Інваріант Аббе перетворений до вигляду
, (2.24)
називається основним рівнянням заломлюючої поверхні.
Якщо в рівнянні (2.24) замінити n’ на -n, тобто застосувати поверхню для відбиття, то отримаємо формулу сферичного дзеркала, виражену через радіус.
(2.25)
Фокусну відстань сферичного дзеркала можна знайти:
(2.26)
таким чином, формулу сферичного дзеркала (2.25), з урахуванням (2.26), можна записати у вигляді
(2.27)
Для плоского дзеркала, припускаючи r=¥, із (2.25) отримаємо:
(2.28)
Призми
Призмою називається оптична деталь, що обмежена заломлюючими і відбивними плоскими поверхнями, розташованими під кутом одна до одної. В геодезичних приладах застосовуються призми двох видів: відбивні і заломлюючі.
Відбивні призми призначаються для зміни напряму світлового пучка шляхом відбиття його від граней призми. При цьому використовується або явище повного внутрішнього відбиття або просте відбиття. Для підсилення ефекту відбиття відбивні грані інколи сріблять. Відбивні призми застосовуються в геодезичних приладах з ціллю:
− зміни напряму оптичної осі приладу (призма в ломаній трубі астрономічного універсалу);
− зміни напряму лінії візування і лінії спостереження (окулярні призми відповідно зорової труби і оптичного мікрометра);
− обернене зображення;
− розділення зображення.
Відбивні призми, по суті, виконують ту ж роль, що і плоскі дзеркала, але мають перед ними ряд переваг: їх легше закріпити, вони зберігають незмінними взаємне положення відбивних поверхонь, забезпечують менші втрати світла.
Відбивні призми позначаються двома буквами і числом градусів в куті, на який відхиляються промені після проходження через призму. Перша буква вказує кількість відбивних граней: А - одну, Б – дві, В – три. Друга буква характеризує геометрію призми: Р – рівнобедрена, С – ромбічна, П – пентапризма.
Якщо одну із відбивних граней призми замінюють двома, розташованими під кутом 90°, роблячи над нею надбудову у вигляді даху (для зміни не зовсім оберненого зображення на цілком обернене або навпаки), то такі призми називаються призмами з дахом і позначення добавляється маленька буква “д”, наприклад, “Ад”.
Відбивні призми, як плоско-паралельні пластинки, перекручують похилі пучки променів, що сходяться. Тому призми намагаються розташовувати в паралельних або близьких до паралельних променях. Видів відбивних призм багато. Розглянемо такі, що найбільше застосовуються в геодезичних приладах.
Прямокутна призма АР=90° (рис. 2.11 а) з однією відбивною гранню. В головному її є рівнобедрений прямокутний трикутник. Призма змінює напрям променів на 90° і дає дзеркальне зображення.
Кожна відбивна призма характеризується коефіцієнтом призми. Коефіцієнтом призми називається відношення ходу променів в призмі d=АВ+ВС до діаметра отвору вхідної грані D=LМА:
(2.29)
для призми АР=90°, К=1
Прямокутна призма БР=180° (рис. 2.11 б) з двома відбивними гранями. Призма змінює напрям променів на 180° і зберігає вид зображення. Призма володіє важливою особливістю: при обертанні призми навкруги ребра, що знаходяться горизонтально, зображення не зміщується. Ця перевага дала можливість широкого застосування призми БР=180° при роботі з автоколіматорами і автоколімаційними теодолітами.
При нахилі ребра призми в вертикальній площині на кут a і розвороті призми навкруги ребра на кут b, вихідний світловий промінь змінить напрям азимутальній площині на величину Dg, що визначається за формулою [17].
(2.30)
Значення кутів a і b визначається відповідно горизонтальністю положення ребра і вертикальністю вхідної грані призми.
Коефіцієнт призми БР=180°, К=2.
Призма-ромб БС=0° (рис. 2.11 в) призначається для зміщення оптичної осі без зміни орієнтації зображення. Вона має дві паралельні заломлюючі і дві паралельні відбивні грані. Призма БС=0° має застосування, наприклад в точних теодолітах для почергового спостереження горизонтального і вертикального лімбів.
Призму Дове АР=0° (рис. 2.11 г) легко отримати із прямокутної призми АР=90°; якщо зрізати верхню неробочу її частину призма Дове обертає зображення зверху вниз, зберігаючи напрям ходу променів. При повороті призми в площині відбивної грані на кут a, зображення обертається на кут 2a.
Для зменшення габаритів і ваги верхню частину призми Дове на рис. 2.11.в заштриховане називається призмою Чуриловського.
Пентапризма БП=90° (рис. 2.11 д) призначається для зміни напряму ходу променів на 90°. Вона має дві заломлюючі грані, розташовані взаємно під кутом 90°, і дві відбивні грані розташовані під кутом 45°. Між відбивною і суміжною заломлюючою гранями – кут 112,5°, коефіцієнт призми БП=90° К=3,4142
Часто замість виготовляють оптичну деталь з таким же функціональним призначенням але значно меншої ваги і габаритів – пентоблок. Пентоблок (рис. 2.11 е) має два плоскі дзеркала, наклеєні торцями вертикально на загальну основу під кутом 45° між відбивними поверхнями.
Атестація кута відхилення променів пентаблоком (чи пентопризмою) виконується коліматорним чи автоколіматорним методами з середньою квадратичною похибкою 0,4².[10]
Пентоблок широко використовується в спеціальних геодезичних приладах.
При похилах пентоблоку чи пентопризми навкруги вихідного променя на кут a і вхідного променя на кут b вихідний світлий промінь буде змінювати свій напрям. Відхилення вихідного променя від положення коли пентаблок (чи пентапризма) знаходиться в горизонті, в азимутальній площині визначається за формулою
(2.31)
а в вертикальній площині за формулою
(2.32)
при нахилах a=b=2¢, похибка в азимутальний напрям відхилення Dgпьг=0,14².
Призма – куб (рис. 2.11 ж) призначається для відбиття і одночасно пропускання світлових променів у взаємно перпендикулярних напрямках. Вона складається із двох прямокутних призм склеєних із діагональними гранями. Діагональна грань однієї із призм покривається по всій площі частково відбитим шаром. Звично таким покриттям служить зовсім тонкий шар алюмінію або срібла. Для виключення повного внутрішнього відбиття променів діагональні грані склеюються піхтовим бальзамом, який володіє великою прозорістю і коефіцієнтом заломлення n=1,53, близьким до коефіцієнтів заломлення скла. В залежності від коефіцієнтів відбиття і пропускання діагонального шару змінюється яскравість зображення. Для виключення не збігання осей z’1 і z’2 необхідно щоб один із штрихів, що поступає на призму по відношенню до другого був дзеркальним.
Призма – куб використовується для одночасного розповсюдження основного пучка променів по двох напрямках – безпосередньо по лінії візування і наприклад, через вимірювальні шкали, розташовані в стороні від лінії відбивання. Після сполучення променів в полі зору спостерігача раніше розділені пучки променів дозволяють бачити одночасно об’єкт спостереження і необхідну при ньому шкалу. Призма – куб має практичне застосування в автоколімаційних зорових трубах.
Якщо дзеркальне покриття граней прямокутної рівнобедреної призми (рис. 2.11 з) буде зовнішнім, то падаючий паралельний пучок променів відіб’ється від обох дзеркальних граней, розділиться на дві частини і буде розповсюджуватись в протилежних напрямах. Така призма називається світло роздільною. Вона має застосування, наприклад в фотоелектричних автоколіматорах.
Заломлюючі призми змінюють напрям променів світла шляхом заломлення їх при проходженні через призму. Грані призми, через які проходять промені світла при заломлені, називаються заломлюючими а створений заломлюючими гранями двогранний кут – заломлюючим кутом призми. Перетин А призми площиною перпендикулярною заломлюючому ребру називають головним перетином призми.
В геодезичних приладах використовуються заломлюючі призми з кутом між заломлюючими гранями ≤5°. Такі призми називаються оптичними клинками.
Знайдемо для кута e (рис. 2.12), на який відхиляється від свого первісного напряму промінь, що пройшов через призму, вираз через постійні величини: показник заломлення призми n її заломлюючий кут q і показник заломлення no середовища, в якому розташована призма. Згідно закону відбиття світла, для малих кутів падіння, із DN1MN2 можна записати
(2.33)
У відповідності з законом заломлення маємо
(2.34)
Для призм, розташованих у повітрі показник заломлення =1. Для малих кутів із виразу у (2.33) отримаємо:
(2.35)
З урахуванням значень кутів із (2.35) вираз (2.33) запишемо у вигляді:
(2.36)
Враховуючи із DN1KN2 
вираз(2.36) остаточно запишемо у вигляді:
(2.37)
Із формули (2.37) видно, що для оптичного клина при малих кутах падіння відхилення e не залежить від кута падіння променя і1. Це дає можливість використовувати оптичні клини для відхилення променя на постійний кут, наприклад, в далекомірах.
Так як кут відхилення променів від показника заломлення призми, то білий промінь, прийшовши через призму, буде зазнавати дисперсію – розкладатися на складові кольору. Для збереження різкості зображення предметів, що розглядаються через призми або клинки, застосовують ахроматичні призми і клинки. Ахроматичний клинок (рис. 2.13) складається, як правило, із двох клинків, виготовлених із різних сортів скла з відповідно підібраними показниками заломлення. За звичаєм один клинок виготовляють із крону, а другий – із флінту. Склеюють клинки так, щоб заломлюючі кути q¢ і q² були обернені в протилежні боки. Ахроматичний клинок відхиляє промінь до основи на кут e, не розкладаючи його на складові частини спектру.
Лінзи
Лінза – прозора деталь, обмежена двома сферичними заломлюючими поверхнями або однією плоскою і однією сферичною поверхнями. Лінза є найбільш поширена оптична деталь.
До позитивних (збиральних) лінз (рис. 2.14 а) відносяться: двовипукла, плоска випукла і вгнуто - випукла, або меніск позитивний (товщина в центрі більша чим по краях). До негативних (розсіюючи) лінз (рис. 2.14 б) відносяться: двовгнута, плоско-вгнута і випукло – вгнута або меніск негативний (товщина в центрі менша чим по краях). Назви збиральних лінз закінчуються словом “випукла”, а розсіюючи – словом “вгнута” [15].
Інколи назва плоска випуклої і плоско-вгнутої лінз можуть бути як випукло-плоска і вгнуто-плоска, в залежності від того якою є перша поверхня (плоскою чи сферичною). На рисунку r1 і r2– радіуси кривизни поверхонь лінзи. Як видно із рисунка збиральні лінзи товстіші на середній, а розсіюючи – по краях. Пряма с1с2, що з’єднує центри сферичних поверхонь лінз чи перпендикуляр операцій із центру сферичної поверхні на плоску поверхню називається оптичною віссю лінзи.
Лінза збирає падаючий паралельний пучок променів в одну точку. Цю точку, що лежить на оптичній осі називають фокусом лінзи. В просторі зображень, яка сполучена з нескінчене віддаленою точкою, що розташована на оптичній осі в просторі предметів. Передній фокус – це точка на оптичній осі в просторі предметів, яка сполучена з нескінчене віддаленою точкою, що розташована на оптичній осі в просторі зображень. Задній і передній фокуси інколи називають фокусами простору предметів простору зображень [1]. Відстань від переднього фокусу до заломлюючої поверхні називається передньою фокусною відстанню лінзи (f). Аналогічно визначається задня фокусна відстань (f’). Слід зауважити, що лінза має дві заломлюючі поверхні і стає неочевидним від якої із них визначати фокусну відстань.
Якщо лінзи мала по відношенню до радіусів кривини заломлюючих поверхонь лінзи, то її називають тонкою. Головні площини в нескінчена тонкій лінзі практично збігаються і перетворюють в “середню” її площини. Цю “середню” площину називають головною площиною. В геодезичних приладах звично використовують не окремі лінзи, а їх приладах звично використовують не окремі лінзи, а їх системи, що складаються із двох і більше тонких лінз.
Визначаючи фокусні відстані від середини поверхні лінзи, ми по суті, відраховуємо їх від головної площини, яка у випадку сферичної поверхні утворилась від злиття двох головних площин і проходить через вершину поверхні. Значення 
- називається оптичною силою лінзи. За одиницю вимірювання оптичної сили приймається діоптрія, що відповідає оптичній силі лінзи з фокусною відстанню 1 мм. Оптична сила збиральної лінзи позитивна, а розсіюючої – негативна. Для тонкої лінзи
(2.38)
де: n- показник заломлення;
r1 і r2- радіуси кривини сферичних поверхонь (випукла “+”, вгнута “-“, плоска “¥”).
Для товстої лінзи
(2.39)
де d– товщина лінзи.
