Знать: два определения линии в пространстве; уравнения прямой в пространстве; формулы углов между прямыми, между прямой и плоскостью; условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, прямой и плоскости; условия принадлежности двух прямых одной плоскости и прямой плоскости; взаимное расположение двух прямых в пространстве, а также прямой и плоскости; формулы расстояния от точки до прямой в пространстве и между двумя скрещивающимися прямыми.
Уметь: переходить от одного вида уравнения прямой к другому; находить углы между прямыми, между прямой и плоскостью; находить расстояния в пространстве; устанавливать взаимное расположение прямых в пространстве, а также прямой и плоскости.
Проверочная работа «Уравнение плоскости в пространстве»
| 1 в. | 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через основания перпендикуляров, опущенных из точки М(2;2;2) на координатные плоскости. | 2. При каких значениях  и  уравнения  и  будут определять параллельные плоскости?
|
| 2 в. | 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;0;3) и перпендикулярной к плоскостям  и  .
| 2. При каких значениях уравнения  и  будут определять перпендикулярные плоскости?
|
Решение проверочной работы:
| 1 вариант | |
1. Из точки М на координатные плоскости можно опустить 3 перпендикуляра с основаниями М1(0;2;2), М2(2;0;2), М3(2;2;0).
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через 3 данные точки, и получим:
Ответ: x+y+z-4=0.
| 2. 
Ответ:  .
|
| 2 вариант | |
1. 
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через точку М(1;0;3) и перпендикулярно вектору  , получим 
Ответ: .
| 2.  
Ответ:  .
|
Работа в аудитории:
1.3. Общее уравнение прямой  преобразовать к каноническому виду.
| 1.4. Привести к каноническому виду прямую  .
| 1.5. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(4;3;-2) параллельно прямой  .
|
| 2. Найти величину острого угла между прямыми | ||
2.3.  и  .
| 2.4.  и  .
| 2.5.  и  .
|
| 3. Установить взаимное расположение прямых | ||
3.3.  и  .
| 3.4.  и  .
| 3.5.  и  .
|
4.3. Найти расстояние от точки М(-5;4;3) до прямой  .
| 4.4. Найти расстояние между параллельными прямыми  и  .
| 4.5. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми  и  .
|
5.3. Найти величину острого угла между прямой  и плоскостью  .
| 5.4. Установить взаимное расположение прямой  и плоскости  .
| 5.5. Найти координаты точки, симметричной точке М(3;4;5) относительно плоскости  .
|
Решения:
1.3. Общее уравнение прямой преобразовать к каноническому виду.
.
Пусть 
.
Воспользуемся каноническим уравнением прямой в пространстве 
, где 
и получим 
Ответ: .
1.4. Привести к каноническому виду прямую .
.
Пусть 
.
Воспользуемся каноническим уравнением прямой в пространстве , где 
и получим 
.
Ответ: .
1.5. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(4;3;-2) параллельно прямой .
.
Воспользуемся каноническим уравнением прямой в пространстве , где 
и получим 
Ответ: .
2.3. Найти величину острого угла между прямыми и .
По формуле нахождения угла между двумя прямыми имеем
Ответ: 
.
2.4. Найти величину острого угла между прямыми и .
По формуле нахождения угла между двумя прямыми имеем
Ответ: 
.
2.5. Найти величину острого угла между прямыми и .
По формуле нахождения угла между двумя прямыми имеем
Ответ: 
.
3.3. Установить взаимное расположение прямых и .
.
Т.к. 
, то прямые или параллельны, или совпадают.
Возьмем точку М1(2;0;-1) и подставим в уравнение 2-ой прямой.
, т.е. точка не принадлежит 2-ой прямой.
Ответ: параллельны.
3.4. Установить взаимное расположение прямых и .
.
Т.к. 
, то прямые или пересекаются, или скрещиваются.
Проверим условие принадлежности двух прямых 1-ой плоскости:
, т.е. прямые скрещиваются.
Т.к. 
, то прямые не перпендикулярны.
Ответ: скрещивающиеся.
3.5. Установить взаимное расположение прямых и .
.
Т.к. 
, то прямые или параллельны, или совпадают.
Возьмем точку М1(0;0;-3) и подставим в уравнение 1-ой прямой.
, т.е. точка принадлежит 1-ой прямой.
Ответ: совпадают.
4.3. Найти расстояние от точки М(-5;4;3) до прямой .
Воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки до прямой 
, где 
и М0(2;3;1), 
Ответ: 
.
4.4. Найти расстояние между параллельными прямыми и .
Т.к. расстояние между параллельными прямыми определяется как расстояние от любой точки 1-ой прямой до 2-ой прямой, то воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки М(2;-1;0) до прямой , где 
, 
и получим 
.
Ответ: 3.
4.5. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми и .
Воспользуемся формулой расстояния между скрещивающимися прямыми 
, где 
, 
, 
, 
, 
.
Ответ: 2.
5.3. Найти величину острого угла между прямой и плоскостью .
Воспользуемся формулой нахождения угла между прямой и плоскостью 
, 
и получим 
.
Ответ: 
.
5.4. Установить взаимное расположение прямой и плоскости .
и 
.
Т.к. 
, то прямая и плоскость не перпендикулярны.
Т.к. 
, то прямая и плоскость не параллельны.
Ответ: пересекаются.
5.5. Найти координаты точки, симметричной точке М(3;4;5) относительно плоскости .
Пусть искомая точка А, тогда прямая АМ перпендикулярна данной плоскости. Воспользуемся уравнением прямой с направляющим вектором, который перпендикулярен плоскости 
и проходящей через точку М(3;4;5): 
или 
.
Найдем точку пересечения прямой АМ и данной плоскости, назовем ее точка В
Т.е. точка В имеет координаты В(4;2;6).
Чтобы найти координаты точки А(x;y;z), воспользуемся тем, что В – середина АМ, т.е. 
, 
, 
.
Ответ: (5;0;7).
