Внутренний фотоэффект в однородных полупроводниках

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

ПАРФЕНОВ В.В., ЗАКИРОВ Р.Х.

 

ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ

(методическое пособие к практикуму по физике твердого тела)

 

 

Казань 2001

 

Печатается по решению Редакционно-издательского совета физического факультета

 

 

Парфенов В.В., Закиров Р.Х. Физика полупроводников (элементы теории, руководство и задания к лабораторным работам). Учебно-методическое пособие для студентов физического факультета. Казань. 2001.

 

Методическое пособие предназначается для студентов четвертого курса радиофизических специальностей при выполнении ими работ по физике полупроводников на практикуме по физике твердого тела. Оно также может быть полезно при изучении соответствующих разделов общих лекционных курсов «Физика твердого тела», «Физика конденсированного состояния вещества» и спецкурса «Физика полупроводников».

 

 

Рецензент:

Фаттахов Я.В., к. ф.-м. н., старший научный сотрудник лаборатории радиационной физики КФТИ КНЦ РАН

 

Издание подготовлено при поддержке ФЦП «Интеграция»

 

© Физический факультет Казанского государственного университета, 2001

 

ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ

(как работать с методическим пособием).

Методическое пособие рассчитано на студентов 4-го курса физического факультета, знакомых с курсом «Квантовая механика» и приступивших к изучению общего курса «Физика твердого тела» («Физика конденсированного состояния вещества»), а также спецкурса «Физика полупроводников». Оно содержит краткие сведения по электронной (зонной) теории полупроводников, сведения по явлениям переноса в полупроводниках, фотоэлектрическим явлениям и электролюминесценции и предназначено для помощи при подготовке соответствующих работ практикума «Физика твердого тела». В данное пособие практически не вошли вопросы, связанные с физикой контактных явлений в полупроводниках. Они войдут в методическое пособие «Физика полупроводниковых приборов», переиздание которого запланировано на ближайшее время.

Основано методическое пособие на лекционном курсе «Физика полупроводников», который читается Парфеновым В.В. на физическом факультете с 1973 г., а также на методических разработках Закирова Р.Х. В связи с тем, что соответствующий практикум в течение этих лет менял свою структуру, название, состав лабораторного оборудования, авторы не считают нужным давать в методическом пособии конкретную информацию о лабораторных макетах и порядке выполнения работ, относя это к представленным в отдельных папках «Указаниям по выполнению работ». Кроме того, авторы прекрасно осознают тот факт, что в рамках небольшого по объему методического пособия невозможно в полной мере охватить все аспекты описываемых явлений. Предполагается, что дополнительную информацию читатели почерпнут из учебников и монографий. Список основной литературы приводится в конце методического пособия; дополнительной – после каждой темы. Слова, словосочетания и фразы, выделенные жирным шрифтом, должны помочь студенту составить план ответа. Блоки текста, выделенные мелким шрифтом, представляют дополнительную информацию по теме.

В заключение авторы считают своим приятным долгом выразить признательность рецензенту, старшему научному сотруднику лаборатории радиационной физики КФТИ КНЦ РАН Фаттахову Я.В., заведующему кафедрой физики твердого тела КГУ, профессору Садыкову Э.К. за внимательное рецензирование рукописи и ряд полезных замечаний, а также магистрам кафедры ФТТ КГУ Ивлеву А.П. и Юричуку А.А. за помощь в оформлении методического пособия.

 

Введение: элементы зонной теории твердых тел.

По величине электропроводности принято подразделять твердые тела на три основных класса:

диэлектрики, для которых удельная электропроводность σ <10^-12 Ом^-1м^-1;

полупроводники - 10⁵> σ > 10^-12 Ом^-1м^-1;

металлы - σ >10⁵ Ом^-1м^-1.

Полупроводники, таким образом, представляют промежуточный по электропроводности класс веществ, весьма разнообразных по химической природе. К ним относятся прежде всего атомарные, или элементарные полупроводники (германий - Ge, кремний - Si, селен - Se, теллур - Te); химические соединения или интерметаллиды (GaAs - арсенид галлия, CdS -сульфид кадмия и т.д.); фазы переменного состава, т.н. твердые растворы (Ga_xIn_1-xSb, Pb_xSn_1-xTe и т.п.); ряд органических соединений и др.

Электропроводность всех этих твердых тел по своей величине попадает в представленный выше интервал значений, а также очень существенно зависит от внешних условий, меняясь при изменении температуры образца, внешнего давления, при освещении, облучении потоком ядерных частиц и т. д. Более того, электропроводность (и другие электронные свойства полупроводников) сильно зависят от предыстории образца: способа получения, сорта и количества примесей в нем.

Для того, чтобы понять причины этого необходимо рассмотреть электронную структуру твердых тел (зонную структуру). Основы зонной теории твердых тел заложены в 20-30-е годы ХХ века, когда для описания поведения электронов в кристаллах были применены принципы квантовой механики.

Большинство используемых в настоящее время в электронной технике полупроводников представляют собой кристаллические твердые тела, обладающие трехмерной пространственной периодичностью в расположении своих структурных элементов - атомов, ионов или молекул. Наиболее общее выражение для волновой функции электрона в кристалле имеет вид

. (1)

Здесь - радиус-вектор электрона; - волновой вектор электрона; - функция с такой же пространственной периодичностью, как и кристаллическая решетка. Это утверждение носит название теоремы Блоха.

Спектр энергий электрона в кристалле ε_k можно получить, решив уравнение Шредингера

. (2)

- потенциал, в котором движется электрон. Он возникает вследствие присутствия ионов в узлах кристаллической решетки и обладает той же пространственной периодичностью, что и сама решетка.

Среди многих методов решения уравнения Шредингера для нахождения спектра энергий электронов в полупроводниках наилучшие результаты дают методы, в той или иной степени базирующиеся на приближении сильной связи – методе линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО).

Как следует из самого названия метода, в качестве «блоховской» функции выбирается линейная комбинация «атомных» волновых функций

. (3)

Здесь N – количество атомов в кристалле; - их радиусы векторы;

- «атомные» волновые функции. Для того, чтобы волновая функция удовлетворяла условиям теоремы Блоха, коэффициенты выбираются в виде .

При решении уравнения Шредингера (2) кристаллический потенциал удобно представить в виде суммы двух слагаемых

, (4)

где - «добавочный» потенциал, дающий при сложении с «атомным» потенциалом периодический потенциал кристаллической решетки . «Добавочный» потенциал мал внутри элементарной ячейки кристалла с центром и велик за пределами элементарной ячейки. В то же время за пределами элементарной ячейки будут экспоненциально убывать «атомные» волновые функции . Таким образом, эти две величины нигде одновременно не достигают больших значений. Отметим также, что первое слагаемое в уравнении (2) в сумме с «атомным» потенциалом дают оператор Гамильтона для связанного на ј-ом атоме электрона

. (5)

Решение уравнения (2) удобно представить в виде суммы трех слагаемых

, (6)

где

; (7)

; (8)

. (9)

Нетрудно убедиться, что первый из интегралов будет равен нулю при , и будет равен энергии электрона в изолированном атоме при . Второй из интегралов не будет зависеть от волнового вектора электрона и даст небольшую добавку к энергии «атомного» уровня. Напомним, что потенциал и атомная волновая функция нигде в кристалле не достигают одновременно больших значений. Если теперь перенести начало координат в узел R_і и рассматривать взаимодействие і -го атома только с ближайшими атомами, то

. (10)

Здесь ; - т.н. интегралы перекрытия, величина которых тем больше, чем сильнее перекрываются электронные оболочки i -го и соседних j- ыхатомов; z -число ближайших соседних атомов кристалла.

В частности, для простой кубической решетки таких соседей будет 6, а расстояние от начала координат до ближайшего соседнего атома будет равно а -постоянной кристаллической решетки. Т. е. для такого кристалла

). (11)

Как видно из (11) энергия электрона в кристалле является периодической функцией его волнового вектора . Поэтому, рассматривая энергетический спектр электронов в кристалле, можно ограничиться рамками первой зоны Бриллюэна (см. методич. пособие «Структура и динамика кристаллической решетки) - рассматривать изменения волнового вектора в пределах .

На рис.1 приведена зависимость ε (k) для электрона в кристалле и там же, для сравнения, зависимость ε(k) (закон дисперсии) для свободного электрона – электрона в вакууме, для которого, как известно,

. (12)

Здесь m₀ – масса свободного электрона; - его скорость; –импульс.

Рис.1. Зависимость энергии от волнового вектора для электрона в кристалле (сплошная линия); для электрона в вакууме (штрих-пунктир); штриховой линией показан «атомный» энергетический уровень.

Видно, что спектр энергий электрона в кристалле имеет гораздo больше общих черт с законом дисперсии для свободного электрона, чем с «атомным» энергетическим уровнем.

Таким образом, при образовании кристалла за счет взаимодействия электронных оболочек атомов происходит расщепление «атомных» энергетических уровней в «энергетические зоны». Величина такого расщепления зависит от величины межатомного взаимодействия. В частности, для рассмотренного выше примера, энергия электрона изменяется в пределах от при = 0 до при , т.е ширина энергетической зоны составляет 12 В.

В пределах этой «разрешенной» энергетической зоны электроны могут менять свой волновой вектор, импульс, энергию и координату, т.е. двигаться по кристаллу.

Для того, чтобы понять, как происходит это движение, рассмотрим заполнение энергетических зон электронами в металлах, полупроводниках и диэлектриках.

Самые «глубокие» зоны, т.е. энергетические зоны, образованные электронами глубоколежащих оболочек, одинаковы для всех веществ. Во-первых – они очень узкие, больше похожие на «атомные» электронные уровни, т.к. электроны глубоколежащих оболочек слабо взаимодействуют между собой. Во-вторых – они почти всегда полностью заполнены электронами (исключения составляют d – зоны переходных металлов и f – зоны лантаноидов (см. методич. пособие «Физика магнетиков»)).

Наиболее сильно взаимодействуют между собой электроны самой верхней – валентной оболочки. Для них ширина энергетической «валентной» зоны максимальна и достигает 5-10 электронвольт (эВ).

Количество состояний («подуровней») в валентной зоне равно zN, где N – количество атомов в кристалле, z– валентность атомов. Например, для щелочных металлов (Li, Na, K и т.д.), число разрешенных для электронов состояний равно N.В каждом из этих состояний может находиться только 2 электрона с противоположными спинами. Т.к. любую систему уровней электроны начинают заполнять «снизу», с минимальных энергий, то в щелочных металлах будет заполнено электронами ровно состояний, т. е. половина валентной зоны (рис.2а). Последний заполненный электронами уровень зоны называется «уровнем Ферми» - F, и за ним сразу же следует ближайший свободный уровень энергии. При любых температурах и любых электрических полях электроны могут переходить с заполненных уровней, лежащих вблизи уровня Ферми на ближайшие свободные уровни. Этим и объясняется высокая электропроводность и теплопроводность металлов, характерный для них «металлический» блеск и т. д. Для всех металлов, не только для щелочных, характерно частичное заполнение электронами валентной зоны, которая одновременно является и «зоной проводимости».

Для полупроводников и диэлектриков ситуация совершенно иная. Их валентная зона при Т=0 К полностью заполнена электронами, а следующая разрешенная зона при этой температуре пуста и отделена от валентной зоны интервалом энергий, которые электроны принимать не могут – «запрещенной зоной» - ε _g (рис.2б).

Рис.2а. Заполнение электронами энергетической зоны в металлах. Заполненные состояния зашрихованы

Рис. 2б. Заполнение электронами энергетических зон в полупроводниках и диэлектриках

Если между металлами – с одной стороны, и полупроводниками и диэлектриками – с другой, существует принципиальная разница в заполнении электронами энергетических зон (для металлов обязательно наличие частично заполненной зоны), то между полупроводниками и диэлектриками разница только «количественная» – в ширине запрещенной зоны. К полупроводникам принято относить вещества, ширина запрещенной зоны которых . Если же ширина запрещенной зоны больше 3 эВ, вещество считают диэлектриком.

Ширина запрещенной зоны большинства важнейших полупроводниковых материалов составляет эВ. Так, для германия ε_g = 0,69 эВ, кремния - 1,09 эВ, арсенида галлия –1,43 эВ. Ширина запрещенной зоны – важнейшая характеристика полупроводника. Кроме всего прочего, ширина запрещенной зоны определяет и область применения полупроводникового материала. Так, например, приборы на основе контактных явлений будут работоспособны при комнатной температуре (Т= 300 К), только если ε_g > 0,5эВ. Приборы на основе полупроводников с меньшей шириной запрещенной зоны (арсенид и антимонид индия, теллурид свинца и т.д.) требуют для нормальной работы охлаждения. Кроме ширины запрещенной зоны важное значение имеет и тип зонной структуры. В зависимости от взаимного расположения экстремумов разрешенных зон («потолка» валентной зоны и «дна» зоны проводимости) в «пространстве волновых векторов» энергетическая структура полупроводников может быть прямозонной (рис.3а) – экстремумы зон находятся в одной точке k -пространства, и непрямозонной, когда экстремумам разрешенных энергетических зон соответствуют разные значения волнового вектора (рис.3б). Тип зонной структуры также требуется учитывать при изготовлении полупроводниковых приборов – так, например, для изготовления полупроводниковых инжекционных лазеров подходят только прямозонные полупроводники.

Рис.3а. Прямозонный полупроводник (GaAs, InAs, InP и т.п.)

Рис.3б. Непрямозонный полупровод-ник (Ge, Si, GaP и т.п.)

При температуре абсолютного нуля в зоне проводимости полупроводников и диэлектриков отсутствуют электроны, т.е. электропро-водность, вызванная электронами зоны проводимости, отсутствует. Перемещение электронов по уровням валентной зоны также невозможно – все энергетические состояния там заняты. Но так выглядит заполнение энергетических зон полупроводников только при абсолютном нуле температур.

При часть электронов может получить энергию, достаточную для того, чтобы перейти из валентной зоны в зону проводимости. Это соответствует «освобождению» электрона из ковалентной химической связи, удерживающей его у атома. Такой свободный (в пределах кристалла, разумеется) электрон может теперь двигаться по кристаллу при наличии в образце электрических полей, градиентов температуры и т.д.

В валентной же зоне появляется свободный уровень – уровень, с которого ушел электрон, и появляется возможность движения для электронов валентной зоны – способом последовательного заполнения этого свободного уровня. Для описания такого движения удобно воспользоваться формализмом «дырки», т. е. описывать не движение всей совокупности электронов валентной зоны, а движение по кристаллу этого свободного, не занятого электроном, состояния. Такому состоянию приписываются свойства частицы с положительным зарядом + е. Для описания движения заряженных частиц – электронов и дырок под действием внешних полей (электрического, магнитного, теплового), частицам следует приписать не только заряд, но и динамическую характеристику – массу, которая, вообще говоря, не совпадает с массой свободного электрона и носит название «эффективной массы». Причина введения вместо массы частицы – эффективной массы заключается в том, что помимо внешних полей на заряженные частицы действуют внутрикристаллические поля, создаваемые ионами, расположенными в узлах кристаллической решетки. Учет влияния этих полей чрезвычайно усложняет уравнения движения заряженных частиц, и, чтобы избежать такого усложнения, выполняется процедура «перенормировки массы» – вместо массы свободного электрона m ₀ вводится эффективная масса электронов m_n и дырок - m_p. Для рассмотренного выше примера эффективную массу электрона можно получить, если разложить в ряд Тейлора выражение 11 при и ограничится первыми двумя слагаемыми этого разложения:

. (13)

Такое разложение оправданно, т.к. при не очень высоких концентрациях электроны и дырки заполняют состояния вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны, соответственно.

Эффективная масса оказалась зависящей от параметра кристаллической решетки a и от величины интеграла перекрытия В. Более того, эффективная масса может быть тензорной (для кристаллов с более низкой, чем кубическая, симметрией) и отрицательной величиной (в этом несложно убедиться, выполнив разложение в ряд соотношения 11 при ). Отметим также, что эффективная масса дырок обычно превышает эффективную массу электронов, т.к. величина интегралов перекрытия для более высоко расположенной зоны проводимости больше, чем для валентной зоны.

 

 

1. Температурная зависимость электропроводности полупроводников.

Как отмечалось во Введении, с ростом температуры в полупроводнике будет появляться все больше свободных носителей электрического заряда – электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне. Если внешнее электрическое поле отсутствует, то движение этих заряженных частиц носит хаотический характер и ток через любое сечение образца равен нулю. Среднюю скорость частиц – т.н. «тепловую скорость» можно рассчитать по той же формуле, что и среднюю тепловую скорость молекул идеального газа

, (1)

где k - постоянная Больцмана; m -эффективная масса электронов или дырок.

При приложении внешнего электрического поля в полупроводнике появится направленная, «дрейфовая» компонента скорости – по полю у дырок, против поля – у электронов, т.е. через образец потечет электрический ток. Плотность тока j будет складываться из плотностей «электронного» j_n и «дырочного» j_p токов:

,(2)

где n, p - концентрации свободных электронов и дырок; υ_n, υ_p – дрейфовые скорости носителей заряда.

Здесь следует заметить, что хотя заряды у электрона и дырки – противоположные по знаку, но и векторы дрейфовых скоростей направлены в противоположные стороны, т. е. суммарный ток фактически является суммой модулей электронного и дырочного токов.

Очевидно, что скорости υ_n и υ_p будут сами зависеть от внешнего электрического поля (в простейшем случае – линейно). Введем коэффициенты пропорциональности μ_n и μ_p , называемые «подвижностями» носителей заряда

, (3)

и перепишем формулу 2 в виде:

j = enm_nE + epm_pE = s_nE + s_pE = sE. (4)

Здесь s - электропроводность полупроводника, а s_n и s_p - ее электронная и дырочная составляющие, соответственно.

Как видно из (4) электропроводность полупроводника определяется концентрациями свободных носителей заряда в нем и их подвижностями. Это будет справедливым и для электропроводности металлов. Но в металлах концентрация электронов очень велика и не зависит от температуры образца. Подвижность электронов в металлах убывает с температурой вследствие увеличения числа столкновений электронов с тепловыми колебаниями кристаллической решетки, что и приводит к уменьшению электропроводности металлов с ростом температуры. В полупроводниках же основной вклад в температурную зависимость электропроводности вносит зависимость от температуры концентрации носителей заряда.

Рассмотрим процесс теплового возбуждения (генерации) электронов из валентной зоны полупроводника в зону проводимости. Хотя средняя энергия тепловых колебаний атомов кристалла составляет, например, при комнатной температуре всего 0,04 эВ, что намного меньше ширины запрещенной зоны большинства полупроводников, среди атомов кристалла будут и такие, энергия колебаний которых соизмерима с ε_g. При передаче энергии от этих атомов электронам, последние переходят в зону проводимости. Количество электронов в интервале энергий от ε до ε + d ε зоны проводимости можно записать как:

, (5)

где - плотность энергетических уровней (6);

- вероятность заселения уровня с энергией ε электроном (функция распределения Ферми). (7)

В формуле (7) символом F обозначен т.н. уровень Ферми. В металлах уровень Ферми – последний занятый электронами уровень при абсолютном нуле температуры (см. Введение). Действительно, f(ε) = 1 при ε < F и f(ε) = 0 при ε > F (рис.1).

Рис.1. Распределение Ферми-Дирака; ступенчатое при температуре абсолютного нуля и «размытое» при конечных температурах.

В полупроводниках, как мы увидим в дальнейшем, уровень Ферми обычно находится в запрещенной зоне, т.е. на нем не может находиться электрон. Однако и в полупроводниках при Т = 0 все состояния, лежащие ниже уровня Ферми, заполнены, а состояния выше уровня Ферми – пусты. При конечной температуре вероятность заселения электронами уровней с энергией ε >F уже не равна нулю. Но концентрация электронов в зоне проводимости полупроводника все же намного меньше числа свободных энергетических состояний в зоне, т.е. . Тогда в знаменателе (7) можно пренебречь единицей и записать функцию распределения в «классическом» приближении:

. (8)

Концентрацию электронов в зоне проводимости можно получить, проинтегрировав (5) по зоне проводимости от ее дна - Е₁ до вершины - Е₂:

. (9)

В интеграле (9) за нуль отсчета энергий принято дно зоны проводимости, а верхний предел заменен на из-за быстрого убывания экспоненциального множителя с ростом энергии.

После вычисления интеграла получим:

. (10)

Вычисления концентрации дырок в валентной зоне дают:

. (11)

Для полупроводника, в составе которого отсутствуют примеси, т.н. собственного полупроводника, концентрация электронов в зоне проводимости должна быть равна концентрации дырок в валентной зоне (условие электронейтральности). (Отметим, что таких полупроводников в природе не существует, но при определенных температурах и определенных концентрациях примесей можно пренебречь влиянием последних на свойства полупроводника). Тогда, приравнивая (10) и (11), получаем для уровня Ферми в собственном полупроводнике:

. (12)

Т.е. при абсолютном нуле температур уровень Ферми в собственном полупроводнике расположен точно посередине запрещенной зоны, и проходит вблизи середины запрещенной зоны при не очень высоких температурах, несколько смещаясь обычно в сторону зоны проводимости (эффективная масса дырок, как правило, больше эффективной массы электронов (см.Введение). Теперь, подставляя (12) в (10), для концентрации электронов получим:

. (13)

Аналогичное соотношение получится и для концентрации дырок:

. (14)

Формулы (13) и (14) с достаточной точностью позволяют рассчитать концентрации носителей заряда в собственном полупроводнике. Значения концентрации, вычисленные по этим соотношениям, называются собственными концентрациями.Например, для германия Ge, кремния Si и арсенида галлия GaAs при Т=300 К они составляют соответственно. Практически же, для изготовления полупроводниковых приборов, применяются полупроводники со значительно более высокими концентрациями носителей заряда (). Бóльшая, по сравнению с собственной, концентрация носителей обусловлена введением в полупроводник электроактивных примесей (существуют еще т.н. амфотерные примеси, введение которых в полупроводник не изменяет концентрацию носителей в нем). Примесные атомы в зависимости от валентности и ионного (ковалентного) радиуса могут по-разному входить в кристаллическую решетку полупроводника. Одни из них могут замещать атом основного вещества в узле решетки – примеси замещения. Другие располагаются преимущественно в междоузлиях решетки – примеси внедрения. Различно и их влияние на свойства полупроводника.

Допустим, что в кристалле из четырехвалентных атомов кремния часть атомов Si замещена атомами пятивалентного элемента, например, атомами фосфора Р. Четыре валентных электрона атома фосфора образуют ковалентную связь с ближайшими атомами кремния. Пятый валентный электрон атома фосфора будет связан с ионным остовом кулоновским взаимодействием. В целом эта пара из иона фосфора с зарядом +е и связанного с ним кулоновским взаимодействием электрона будет напоминать атом водорода, вследствие чего такие примеси называются еще и водородоподобными примесями. Кулоновское взаимодействие в кристалле будет значительно ослаблено из-за электрической поляризации окружающих примесный ион соседних атомов. Энергию ионизации такого примесного центра можно оценить по формуле:

, (15)

где - первый потенциал ионизации для атома водорода – 13,5 эВ;

χ – диэлектрическая проницаемость кристалла (χ =12 для кремния).

Подставив в (15) эти значения и значение эффективной массы электронов в кремнии - m_n = 0,26 m ₀, получим для энергии ионизации атома фосфора в кристаллической решетке кремния ε_I = 0,024 эВ, что существенно меньше ширины запрещенной зоны и даже меньше средней тепловой энергии атомов при комнатной температуре. Это означает, во-первых, что примесные атомы гораздо легче ионизировать, чем атомы основного вещества и, во-вторых, - при комнатной температуре эти примесные атомы будут все ионизированы. Появление в зоне проводимости полупроводника электронов, перешедших туда с примесных уровней, не связано с образованием дырки в валентной зоне. Поэтому концентрация основных носителей тока – электронов в данном образце может на несколько порядков превышать концентрацию неосновных носителей – дырок. Такие полупроводники называются электронными или полупроводниками n -типа, а примеси, сообщающие полупроводнику электронную проводимость, называются донорами. Если в кристалл кремния ввести примесь атомов трехвалентного элемента, например, - бора В, то одна из ковалентных связей примесного атома с соседними атомами кремния остается незавершенной. Захват на эту связь электрона с одного из соседних атомов кремния приведет в появлению дырки в валентной зоне, т.е. в кристалле будет наблюдаться дырочная проводимость (полупроводник р -типа). Примеси, захватывающие электрон, называются акцепторами. На энергетической диаграмме полупроводника (рис.2) донорный уровень размещается ниже дна зоны проводимости на величину энергии ионизации донора, а акцепторный – выше потолка валентной зоны на энергию ионизации акцептора. Для водородоподобных доноров и акцепторов, какими являются в кремнии элементы V и III групп Периодической системы Менделеева, энергии ионизации примерно равны.

Рис.2. Энергетические диаграммы электронного(слева) и дырочного (справа) полупроводников. Показано положение уровней Ферми при температурах, близких к абсолютному нулю.

Вычисление концентрации носителей заряда в полупроводнике с учетом примесных электронных состояний – задача достаточно непростая и аналитическое решение ее можно получить только в некоторых частных случаях.

Рассмотрим полупроводник n-типа при температуре, достаточно низкой. В этом случае можно пренебречь собственной проводимостью. Все электроны в зоне проводимости такого полупроводника – это электроны, перешедшие туда с донорных уровней:

. (16)

Здесь - концентрация донорных атомов;

- число электронов, оставшихся еще на донорных уровнях :

. (17)

С учетом (10) и (17) уравнение 16 запишем в виде:

. (18)

Решая это квадратное уравнение относительно , получим

. (19)

Рассмотрим решение уравнения при очень низких температурах (на практике – это обычно температуры порядка десятков градусов Кельвина), когда второе слагаемое под знаком квадратного корня много больше единицы. Пренебрегая единицами, получим:

, (20)

т.е. при низких температурах уровень Ферми расположен примерно посередине между донорным уровнем и дном зоны проводимости (при
Т = 0К – точно посередине). Если подставить (20) в формулу для концентрации электронов (10), то можно видеть, что концентрация электронов растет с температурой по экспоненциальному закону

. (21)

Показатель экспоненты указывает на то, что в данном диапазоне температур концентрация электронов растет за счет ионизации донорных примесей.

При более высоких температурах, - при таких, когда собственная проводимость еще незначительна, но выполняется условие , второе слагаемое под корнем будет меньше единицы и используя соотношение

+…., (22)

получим для положения уровня Ферми

, (23)

а для концентрации электронов

. (24)

Все доноры уже ионизированы, концентрация носителей в зоне проводимости равна концентрации донорных атомов – это т.н. область истощения примесей. При еще более высоких температурах происходит интенсивный заброс в зону проводимости электронов из валентной зоны (ионизация атомов основного вещества) и концентрация носителей заряда снова начинает расти по экспоненциальному закону (13), характерному для области с собственной проводимостью. Если представить зависимость концентрации электронов от температуры в координатах , то она будет выглядеть в виде ломаной линии, состоящей из трех отрезков, соответствующих рассмотренным выше температурным диапазонам (рис.3).

Рис.3. Температурная зависимость концентрации электронов в полупроводнике n-типа.

 

 

Аналогичные соотношения, с точностью до множителя, получаются при вычислении концентрации дырок в полупроводнике р-типа.

При очень высоких концентрациях примесей (~10¹⁸ -10²⁰ см^-3) полупроводник переходит в т.н. вырожденное состояние. Примесные уровни расщепляются в примесную зону, которая может частично перекрыться с зоной проводимости (в электронных полупроводниках) или с валентной зоной (в дырочных). При этом концентрация носителей заряда практически перестает зависеть от температуры вплоть до очень высоких температур, т.е. полупроводник ведет себя как металл (квазиметаллическая проводимость). Уровень Ферми в вырожденных полупроводниках будет располагаться или очень близко от края соответствующей зоны, или даже заходить внутрь разрешенной энергетической зоны, так, что и зонная диаграмма такого полупроводника будет похожа на зонную диаграмму металла (см. рис. 2а Введения). Для расчета концентрации носителей заряда в таких полупроводниках функцию распределения следует брать не в виде (8), как это делалось выше, а в виде квантовой функции (7). Интеграл (9) в этом случае вычисляется численными методами и носит название интеграла Ферми-Дирака. Таблицы интегралов Ферми-Дирака для значений приведены, например, в монографии Л.С.Стильбанса.

При степень вырождения электронного (дырочного) газа настолько высока, что концентрация носителей не зависит от температуры вплоть до температуры плавления полупроводника. Такие «вырожденные» полупроводники используются в технике для изготовления ряда электронных приборов, среди которых важнейшими являются инжекционные лазеры и туннельные диоды.

Определенный, хотя и менее существенный вклад, в температурную зависимость электропроводности будет вносить температурная зависимость подвижности носителей заряда. Подвижность, «макроскопическое» определение которой дано нами в (3), может быть выражена через «микроскопические» параметры – эффективную массу и время релаксации импульса – среднее время свободного пробега электрона (дырки) между двумя последовательными столкновениями с дефектами кристаллической решетки:

, (25)

а электропроводность, с учетом соотношений (4) и (25) запишется, как:

. (26)

В качестве дефектов – центров рассеяния могут выступать тепловые колебания кристаллической решетки – акустические и оптические фононы (см. методич. пособие «Структура и динамика…»), примесные атомы – ионизированные и нейтральные, лишние атомные плоскости в кристалле – дислокации, поверхность кристалла и границы зерен в поликристаллах и т.д. Сам процесс рассеяния носителей заряда на дефектах может быть упругим и неупругим – в первом случае происходит только изменение квазиимпульса электрона (дырки); во-втором – изменение и квазиимпульса и энергии частицы. Если процесс рассеяния носителя заряда на дефектах решетки – упругий, то время релаксации импульса можно представить в виде степенной зависимости от энергии частицы: . Так, для наиболее важных случаев упругого рассеяния электронов на акустических фононах и ионах примеси

(27)

и . (28)

Здесь - величины, не зависящие от энергии; - концентрация ионизированных примесей любого типа.

Усреднение времени релаксации осуществляется по формуле:

; . (29)

С учетом (25)-(29) получим:

 

. (30)

 

Если в каком-либо диапазоне температур вклады в подвижность носителей, соответствующие разным механизмам рассеяния, сопоставимы по величине, то подвижность будет рассчитываться по формуле:

, (31)

где индекс i соответствует определенному механизму рассеяния: на примесных центрах, на акустических фононах, оптических фононах и т.д.

Типичная зависимость подвижности электронов (дырок) в полупроводнике от температуры показана на рис.4.

 

 

Рис.4. Типичная зависимость от температуры подвижности носителей заряда в полупроводнике.

 

При очень низких температурах (в районе абсолютного нуля) примеси еще не ионизированы, рассеяние происходит на нейтральных примесных центрах и подвижность практически не зависит от температуры (рис.4, участок а-б). С повышением температуры концентрация ионизированных примесей растет по экспоненциальному закону, а подвижность падает согласно (30) – участок б-в. В области истощения примесей концентрация ионизированных примесных центров уже не изменяется, и подвижность растет, как (рис.4, в-г). При дальнейшем повышении температуры начинает преобладать рассеяние на акустических и оптических фононах и подвижность снова падает (г-д).

Поскольку температурная зависимость подвижности в основном – степенная функция температуры, а температурная зависимость концентрации – в основном экспоненциальная, то и температурный ход электропроводности будет в основных чертах повторять температурную зависимость концентрации носителей заряда. Это дает возможность достаточно точно определять по температурной зависимости электропроводности важнейший параметр полупроводника – ширину его запрещенной зоны, что и предлагается проделать в данной работе.

 

 

ЗАДАНИЕ

1. Измерить температурную зависимость электропроводности полупроводника и определить ширину его запрещенной зоны.

2. С помощью термозонда определить тип проводимости полупроводника.

Более подробные указания по выполнению работы содержатся в отдельной папке «Изучение температурной зависимости электропроводности компенсационным методом».

 

ЛИТЕРАТУРА

1) Цидильковский И.М. Электроны и дырки в полупроводниках (энергетический спектр и динамика), М., Наука, 1972.

 

 

2. Эффект Холла

Эффектом Холла называется появление поперечной разности потенциалов в проводнике, по которому течет ток, и который помещен во внешнее магнитное поле. Холловская разность потенциалов возникает в направлении, перпендикулярном и току, и внешнему магнитному полю, т.е. эффект Холла относится к т.н. «поперечным» гальваномагнитным явлениям, которые наблюдаются при совместном воздействии на образец внешних электрического и магнитного полей. Причиной всех гальваномагнитных явлений является отклонение траектории движущихся заряженных частиц – электронов и дырок под действием силы Лоренца:

, (1)

где - скорость частицы; - индукция внешнего магнитного поля.

Поскольку сила Лоренца направлена всегда перпендикулярно скорости частицы, то под ее действием электроны (дырки) будут двигаться по циклическим траекториям – окружностям, спиралям, циклоидам. Характерная частота движения заряженной частицы по таким траекториям называется циклотронной частотой

; (2)

m - эффективная масса (см. Введение).

Если магнитное поле невелико, то за время свободного пробега между двумя последовательными столкновениями с дефектами решетки носитель заряда успеет пройти, лишь небольшую дугу по циклической траектории, в сильных магнитных полях за время свободного пробега частица успевает сделать несколько «оборотов» по окружности (спирали, циклоиде). Следовательно, в слабых магнитных полях

(3а)

и (3б)

в сильных магнитных полях.

 

 

 

Рис.1. Схема эксперимента по измерению холловской э.д.с. На электроды 1 и 2 подается внешнее смещение и через них течет ток. Электроды 3 и 4 служат для регистрации э.д.с. Холла.

 

Поворот траекторий носителей заряда в магнитном поле вызовет появление поперечной компоненты плотности тока (рис.1), что, в свою очередь, вызовет накопление заряда на боковых гранях образца при разомкнутых «холловских» контактах 3 и 4 (это соответствует подключению к контактам вольтметра – прибора с большим входным сопротивлением). Накопление заряда на боковых гранях приведет к возникновению холловской э.д.с. (поперечного поля Холла ). Знак холловской э.д.с. (направление поля Холла) будет определяться знаком основных носителей заряда в полупроводнике. Так, для геометрии эксперимента, изображенной на рис.1, правая грань будет заряжаться отрицательно, если основными носителями заряда являются электроны, и положительно - если образец имеет дырочную проводимость. Подчеркнем, что электроны и дырки будут отклоняться к одной и той же грани образца. Заряды этих частиц противоположны по знаку, но и дрейфовые скорости в электрическом поле направлены в противоположные стороны, т.е. сила Лоренца (1) будет направлена и для электронов, и для дырок в одну сторону. Накопление зарядов на боковой грани не будет продолжаться бесконечно – за время, сравнимое с временем , т.е. за , холловское поле создаст ток , равный по величине и направленный противоположно току . В результате полный ток в поперечном направлении (по оси y) будет равным нулю, а стационарное значение холловского поля будет пропор-ционально плотности тока через образец и индукции магнитного поля:

, (4)

где - коэффициент Холла.

Для того, чтобы получить значение коээфициента Холла, запишем уравнение динамики для электрона:

. (5)

Распишем его поокоординатно. Выберем геометрию рис.1, т.е. направим внешнее магнитное поле по оси z. Отметим, что на движение электрона по оси z магнитное поле влиять не будет. С учетом (2) получим:

(6)

Решением системы (6) будет в общем случае уравнение циклоиды

 

, (7)

в чем нетрудно убедиться подстановкой (7) в (6). Для коэффициентов a и b получим

. (8)

Теперь следует вычислить средние перемещения частиц и их средние скорости. Для этого необходимо усреднить уравнения (7) по времени, используя соотношение

. (9)

С учетом того, что

,

получим для средних смещений электронов

(10),

 

а, поделив на , для средних скоростей запишем:

(11).

Необходимо еще провести усреднение по энергии частиц. Оно выполняется по формуле 29 работы 1. Теперь все готово, чтобы записать выражения для x и y- компонент плотности тока

(12).

Здесь , .

Т.к. граничным условием наблюдения холловской разности потенциалов является равенство нулю y - компоненты тока, то определив из второго уравнения E_x через E_y и подставив в первое, запишем:

. (13)

Сравнивая (4) и (13), для холловского поля и коэффициента Холла получим окончательно:

; (14)

. (15)

Выражение (15) оказалось достаточно сложным для анализа. Поэтому рассмотрим частные случаи – коэффициент Холла в пределе слабых и сильных магнитных полей. Но сначала выполним оценку – какие поля следует считать «слабыми» и «сильными»? Для этого перепишем соотношение (3) в более удобном виде. Так «сильными» полями будут считаться те, для которых

. (16)

 

При величине подвижности носителей μ, равной 1000 см²/В^.с (0,1м²/В^.с), сильными будут считаться поля с индукцией В> 10 Тл
(10⁵ Гс), т.е. поля, которые невозможно получить с помощью обычного электромагнита. Такие поля можно получить с помощью, например, сверхпроводящего соленоида. Поэтому экспериментальная ситуация «слабого» поля встречается, гораздо чаще.

Если магнитное поле – слабое, то в в знаменателях выражений для (см.12) можно пренебречь по сравнению с единицей, а также пренебречь вторым слагаемым в знаменателе (15) по сравнению с первым. Таким образом, в пределе слабых магнитных полей получим

, (17)

где, А – Холл-фактор, величина которого зависит от механизма рассеяния носителей заряда в полупроводнике (см. работу 1). Так, если рассеяние электронов (дырок) происходит в основном на ионах примесей, то А= 1,93; если преобладающим является рассеяние на тепловых колебаниях решетки, то А =1,18 и т.д.

В случае сильных магнитных полей, напротив, в знаменателях выражений для следует пренебречь единицей, а также первым слагаемым по сравнению со вторым в знаменателе (15). В сильных магнитных полях (15) превратится в простое соотношение

, (18)

т.е. Холл-фактор перестает зависеть от механизма рассеяния носителей заряда и будет всегда равен 1.

В случае дырочной проводимости образца соотношения для коэффициента Холла получатся точно такими же с заменой концентрации электронов n на концентрацию дырок p. Заметим также, что в отличие от электропроводности - коэффициент Холла зависит от знака носителей заряда. Принято считать его отрицательным для электронного полупроводника и положительным – для дырочного. Таким образом, измерение коэффициента Холла позволяет определить концентрацию и знак основных носителей заряда в полупроводнике. Кроме того, если одновременно измерить и электропроводность полупроводника, то можно рассчитать холловскую подвижность носителей заряда

, (19)

которая с точностью до Холл-фактора А равна истинной, дрейфовой подвижности μ. По температурной зависимости коэффициента Холла можно определить ширину запрещенной зоны полупроводника или, если проводить измерения при низких температурах – при температурах ионизации примесей, то и энергию примесного (донорного или акцепторного) уровня. Действительно, поскольку , в области собственной проводимости коэффициент Холла будет падать с ростом температуры пропорционально , а в области ионизации примесей – пропорционально (см. ф.13 и ф.21 работы 1). Следовательно, относительно простой эксперимент по измерению холловской разности потенциалов позволяет получить информацию о важнейших параметрах полупроводника – типе проводимости, концентрации и подвижности носителей заряда, ширине запрещенной зоны и энергии ионизации примесных уровней. Измерения коэффициента Холла в слабых и сильных магнитных полях при фиксированной температуре позволяет также определить механизм рассеяния носителей заряда (см. 17, 18).

Однако не всегда результаты измерений эффекта Холла просто интерпретировать. Все предыдущие соотношения будут справедливы для полупроводника с ярко выраженным типом проводимости – электронного или дырочного. В случае же, если в проводимости равноправно участвуют и дырки, и электроны, формула для коэффициента Холла будет иметь вид:

. (20)

Нетрудно убедиться, что при формула 20 переходит в 17 (при этом знак будет отрицательным!), а при - в аналогичную формулу для дырочного полупроводника.

 

В собственном полупроводнике n = p и (20) превращается в

, (21)

т.е. знак коэффициента Холла будет определяться знаком наиболее подвижных носителей заряда (обычно это – электроны). В этом случае с помощью соотношения (19) уже не удастся определить подвижность носителей. Более того, при равенстве подвижностей электронов и дырок коэффициент Холла будет равен нулю. Это является следствием того, что во внешнем магнитном поле носители заряда обоих знаков отклоняются к одной и той же грани образца (см. выше) и холловской э.д.с. не возникает.

В полупроводнике, с проводимостью, близкой к собственной, возникают проблемы не только с определением концентрации и подвижности носителей по формулам 19 или 20, но даже с определением знака основных носителей заряда. Так, в дырочном полупроводнике с не слишком большой концентрацией дырок, измерения при низких температурах дадут положительный знак для , как это и должно быть для дырочного полупроводника. Но с ростом температуры образца может произойти инверсия знака коэффициента Холла (рис.2). Как видно из (20), смена зна