Количественные методы описания систем

 

Уровни (описания систем. При создании и эксплуатации сложных систем требуется проводить многочисленные исследования и расчеты, связанные с:

§ оценкой показателей, характеризующих различные свойства систем;

§ выбором оптимальной структуры системы;

§ выбором оптимальных значений ее параметров.

 

Выполнение таких исследований возможно лишь при наличии математического описания процесса функционирования системы, т. е. ее математической модели.

Сложность реальных систем не позволяет строить для них «абсолютно» адекватные модели. Математическая модель (ММ) описывает некоторый упрощенный процесс, в котором представлены лишь основные явления, входящие в реальный процесс, и лишь главные факторы, действующие на реальную систему.

Какие явления считать основными и какие факторы главными — существенно зависит от назначения модели, от того, какие исследования с ее помощью предполагается проводить. Поэтому процесс функционирования одного и того же реального объекта может получить различные математические описания в зависимости от поставленной задачи.

Так как ММ сложной системы может быть сколько угодно много и все они определяются принятым уровнем абстрагирования, то рассмотрение задач на каком-либо одном уровне абстракции позволяет дать ответы на определенную группу вопросов, а для получения ответов на другие вопросы необходимо провести исследование уже на другом уровне абстракции. Каждый из возможных уровней абстрагирования обладает ограниченными, присущими только данному уровню абстрагирования возможностями. Для достижения максимально возможной полноты сведений необходимо изучить одну и ту же систему на всех целей сообразных для данного случая уровнях абстракции.

Наиболее пригодными являются следующие уровни абстрактного описания систем:

§ символический, или, иначе, лингвистический;

§ теоретико-множественный;

§ абстрактно-алгебраический;

§ топологический;

§ логико-математический;

§ теоретико-информационный;

§ динамический;

§ эвристический.

Условно первые четыре уровня относятся к высшим уровням описания систем, а последние четыре — к низшим.

Высшие уровни описания систем. Лингвистический уровень описания — наиболее высокий уровень абстрагирования. Из него как частные случаи можно получить другие уровни абстрактного описания систем более низкого ранга. Процесс формализации в математике обычно понимают как отвлечение от изменчивости рассматриваемого объекта. Поэтому формальные построения наиболее успешно используются, когда удается с предметами или процессами действительности каким-то образом сопоставлять некоторые стабильные, неизменные понятия.

Понятие о высказывании на данном абстрактном языке означает, что имеется некоторое предложение (формула), построенное на правилах данного языка. Предполагается, что эта формула содержит варьируемые переменные, которые только при определенном их значении делают высказывание истинным.

Все высказывания делят обычно на два типа. К первому причисляют «термы» (имена предметов, члены предложения и т. д.) — высказывания, с помощью которых обозначают объекты исследования, а ко второму — «функторы» — высказывания, определяющие отношения между термами.

С помощью термов и функторов можно показать, как из лингвистического уровня абстрактного описания (уровня высшего ранга) как частный случай возникает теоретико-множественный уровень абстрагирования (уровень более низкого ранга).

Термы — некоторые множества, с помощью которых перечисляют элементы, или, иначе, подсистемы изучаемых систем, а функторы устанавливают характер отношений между введенными множествами. Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящимися в некоторых отношениях между собой и элементами других множеств. (Следовательно, автоматизированные системы управления (АСУ) вполне подходят под такого рода определение понятия «множество». Это доказывает, что построение сложных систем на теоретико-множественном уровне абстракции вполне уместно и целесообразно.

На теоретико-множественном уровне абстракции можно получить только общие сведения о реальных системах, а для более конкретных целей необходимы другие абстрактные модели, которые позволили бы производить более тонкий анализ различных свойств реальных систем. Эти более низкие уровни абстрагирования, в свою очередь, являются уже частными случаями по отношению к теоретико-множественному уровню формального описания систем.

 

Так, если связи между элементами рассматриваемых множеств устанавливаются с помощью некоторых однозначных функций, отображающих элементы множества в само исходное множество, то приходим к абстрактно-алгебраическому уровню описания систем. В таких случаях говорят, что между элементами множеств установлены нульарные (никакие, отсутствующие), унарные, бинарные (двойные, двойственные), тернарные отношения и т. д. Если же на элементах рассматриваемых множеств определены некоторые топологические структуры, то в этом случае приходим к топологическому уровню абстрактного описания систем. При этом может быть использован язык общей топологии или ее ветвей, именуемых гомологической топологией, алгебраической топологией и т. д.

Низшие уровни описания систем. Логико-математический уровень описания систем нашел широкое применение для: формализации функционирования автоматов; задания условий функционирования автоматов; изучения вычислительной способности автоматов.

Понятие «автомат» (от греч. automatos — самодействующий) имеет следующие значения:

1) устройство, выполняющее некоторый процесс без непосредственного участия человека. В глубокой древности это часы, механические игрушки, со второй половины XVIII в. Широкое применение в промышленности для замены физического труда человека; в 40 — 50-х годах XX в. появились автоматы для выполнения некоторых видов умственного труда; автоматические вычислительные машины и другие кибернетические устройства. Применение автоматов значительно повышает производительность труда, скорость и точность выполнения операций. Освобождает человека от утомительного однообразного труда, для защиты человека от условий, опасных для жизни или вредных для здоровья. Автоматы используются там, где невозможно присутствие человека (высокая температура, давление, ускорение, вакуум и т. д.);

2) математическое понятие, математическая модель реальных (технических) автоматов. Абстрактно автомат можно представить как некоторое устройство («черный ящик»), имеющее конечное число входных и выходных каналов и некоторое множество внутренних состояний. На входные каналы извне поступают сигналы, и в зависимости от их значения и от того, в каком состоянии он находился, автомат переходит в следующее состояние и выдает сигналы на свои выходные каналы. С течением времени входные сигналы изменяются, соответственно изменяются и состояние автомата, и его выходные каналы. Таким образом, автомат функционирует во времени;

3) в узком смысле автомат употребляется для обозначения так называемых синхронных дискретных автоматов. Такие автоматы имеют конечные множества значений входных и выходных сигналов, называемых входным и выходным алфавитом. Время разбивается на промежутки одинаковой длительности (такты): на протяжении всего такта входной сигнал, состояние и выходной сигнал не изменяются. Изменения происходят только на границах тактов. Следовательно, время можно считать дискретным t=1,2,...,n.

При любом процессе управления или регулирования, осуществляемом живым организмом или автоматически действующей машиной либо устройством, происходит переработка входной информации в выходную. Поэтому при теоретико-информационном уровне абстрактного описания систем информация выступает как свойство объектов и явлений (процессов) порождать многообразие состояний, которые посредством отражения передаются от одного объекта к другому и запечатлеваются в его структуре (возможно, в измененном виде).

Отображение множества состояний источника во множество состояний носителя информации называется способом кодирования, а образ состояния при выбранном способе кодирования — кодом этого состояния.

 

Абстрагируясь от физической сущности носителей информации и рассматривая их как элементы некоторого абстрактного множества, а способ их расположения как отношение в этом множестве, приходят к абстрактному понятию кода информации как способа ее представления. При таком подходе код информации можно рассматривать как математическую модель, т. е. абстрактное множество с заданными на нем предикатами. Эти предикаты определяют тип элементов кода и расположение их друг относительно друга.

Предикат — одно из фундаментальных понятий математики — условие, сформулированное в терминах точного логико-математического языка. Предикат содержит обозначения для произвольных объектов некоторого класса (переменные). При замещении переменных именами объектов данного класса предикат задает точно определенное высказывание.

Динамический уровень абстрактного описания систем связан с представлением системы как некоторого объекта, куда в определенные моменты времени можно вводить вещество, энергию и информацию, а в другие моменты времени — выводить их, т. е. динамическая система наделяется свойством иметь «входы» и «выходы», причем процессы в них могут протекать как непрерывно, так и в дискретные моменты времени. Кроме этого, для динамических систем вводится понятие «состояние системы», характеризующее ее внутреннее свойство.

Эвристический уровень абстрактного описания систем предусматривает поиски удовлетворительного решения задач управления в связи с наличием в сложной системе человека. Эврика — это догадка, основанная на общем опыте решения родственных задач. Изучение интеллектуальной деятельности человека в процессе управления имеет очень важное значение.

Эвристика вообще — это прием, позволяющий сокращать количество просматриваемых вариантов при поиске решения задачи. Причем этот прием не гарантирует наилучшее решение.

Например, человек, играя в шахматы, пользуется эвристическими приемами выработки решетя, так как продумать весь ход игры с начала до конца практически невозможно из-за слишком большого числа вариантов игры (надо обдумать около 10¹²⁰ вариантов). Если на один вариант затрачивать всего 10 с, а в году около 3*10⁷ с, то при 8-часовой работе без выходных дней и отпуска человек способен просчитать в год не более (1/3*3*10⁷)/10=10⁶ вариантов. Следовательно, на перебор всех возможных вариантов шахматной партии понадобится одному человеку 10¹¹⁴ лет.

Поэтому в настоящее время бурно развивается эвристическое программирование — программирование игровых ситуаций, доказательства теорем, перевода с одного языка на другой, дифференциальной диагностики, распознавания образов (звуковых, зрительных и т. д.).

Большое внимание сейчас уделяется созданию искусственного и гибридного интеллекта. При этом важное значение играют решение проблемы иерархически организованного перебора, создание и разработка методов отсечения заведомо невыгодных путей.

Таким образом, обзор уровней абстрактного описания систем показывает, что выбор подходящего метода формального описания при изучении той или иной реальной системы является всегда наиболее ответственным и трудным шагом в теоретико-системных построениях. Эта часть исследования почти не поддастся формализации и во многом зависит от эрудиции исследователя, его профессиональной принадлежности, целей исследования и т. д. Наибольшее значение в настоящее время в абстрактной теории систем придается теоретико-множественному, абстрактно-алгебраическому и динамическому уровням описания систем.