IV. Основные тригонометрические формулы

ПУШКИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО МАТЕМАТИКЕ

(ТЕМА «ТРИГОНОМЕТРИЯ. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ»)

СТУДЕНТ___ 1 КУРСА ___ГРУППЫ

__________________________________

__________________________________

Составитель преподаватель ПМК Романова Л.Н.

Пушкино, 2015 г.

 

 

I. Градусное и радианное измерение углов

y

х

1) Проведём на координатной плоскости окружность с центром ___________________ и радиусом ОА, который назовём __________________радиусом.

2) Условились:

если повернуть начальный радиус по часовой стрелке, то угол поворота α будет считаться _____________________________________;

если повернуть начальный радиус против часовой стрелки, то угол поворота α будет считаться __________________________________.

3) За единицу измерения углов принимают угол в 1⁰ – это угол, который

опишет начальный радиус, совершив 1/360 часть полного оборота вокруг начальной точки против часовой стрелки.

1/60 часть градуса называют ____________________________________. Секундой называется__________________________________________.

4) Рассмотрим ещё одну единицу измерения величины угла – 1 радиан. Угол в 1 радиан есть центральный угол, опирающийся на такую дугу окружности, длина которой равна _______________________________________________.

 

5) Если начальный радиус совершит один полный оборот, то получится угол, равный 360⁰, или ________ радианам.

6) Половина полного оборота начального радиуса соответствуют углу в π радиан, или _________градусов.

 

7) Из формулы 180⁰ = π следует: а) 360⁰ = 2 π; б) 90⁰ = ______; в) ________= π/3; г) 30⁰ = π/6; д) ______ = π/4 и т.д.

 

II. Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса.

1)Рассмотрим единичную окружность, т.е.окружность с центром в точке ______________________и радиусом, равным ______. На единичной окружности отметим точку Р(___;____). При повороте начального радиуса около точки О на угол α точка Р(1; 0) перейдёт в некоторую точку Р_α. Обозначим координаты этой точки х и у.

Определение 1. Синусом угла α называется __________________точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на угол α.

Определение 2. Косинусом угла α называется __________________точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р(1; 0) вокруг начала координат на угол α..

Определение 3. Тангенсом угла α называется отношение _______________ угла α к его ______________. Т.о., tg α = sin α / cos α

Определение 4. Котангенсом угла α называется отношение косинуса угла α к его ______________. Т.о., сtg α = ____________________

 

 

III.Знаки тригонометрических функций в каждой координатной четверти

1) Если точка Р_α находится в I четверти, то её абсцисса и ордината принимают положительное значение, поэтому sin α > 0, cos α ____ 0, tg α ____0, сtg α ____ 0

2) Если точка Р_α находится во II четверти, то её абсцисса принимает отрицательное значение, а ордината – положительное значение, поэтому sin α ______0, cos α < 0, tg α ____0, сtg α ____ 0

3) Если точка Р_α находится в III четверти, то её абсцисса и ордината принимают отрицательное значение, поэтому sin α < 0, cos α ____ 0, tg α ____0, сtg α ____ 0

4) Если точка Р_α находится в IV четверти, то её абсцисса принимает положительное значение, а ордината принимает отрицательное значение, поэтому sin α > 0, cos α ____ 0, tg α ____0, сtg α ____ 0

 

IV. Основные тригонометрические формулы

1) Основное тригонометрическоетождествозадаётся формулой:

sin² α + cos² α = 1

2) Из основного тригонометрического тождества следует:

sin² α = 1 - cos² α; sinα = ± √1 - cos² α

cos² α = ______________; cos α = ± √_________

 

3) По определению tg α = ___________________,

ctg α = cos α /sin α.. Отсюда следует, что tg α·ctg α = ____________

 

4) sin (-α) = - sin α; cos (- α) = ________________________;

tg (- α) = ___________; ctg (- α) = _____________________.

5) Известно, что sin α = 0,5 и π/2 < α < π.

Найдите значения cos α, tg α, сtg α.

Решение. 1. Т.к. π/2 < α < π, то угол α находится в ____________четверти, где косинус принимает _______________значение, поэтому в формуле перед знаком корня оставляем знак ____________________.

По формуле cos α = - √ 1 - sin² α найдём

cos α = _________________________________________________

2. По формуле tg α = sin α / cos α найдём tg α = ________________

V.Формулы приведения

1) Это формулы, позволяющие от тригонометрических функций углов вида π/2 ± α, 3π/2 ± α, π ± α, 2π ± α перейтиктригонометрическим функциям угла I четверти.

Для формул приведения имеют место следующие закономерности:

1. Для углов π ± α, 2π ± α (т.е. прилежащих к оси Ох) название исходной функции ______________________________.

2. Для углов π/2 ± α, 3/2 π ± α (т.е. прилежащих к оси Оу) название исходной функции ______________________________(синус на косинус, косинус на __________________________тангенс на ____________________, котангенс на _____________________

 

3. Функция в правой части равенства берётся с тем же знаком, который имеет исходная функция, если считать, что угол α является углом I четверти.

Например, cos (π/2 + α) = - sin α -косинус поменялся на синус, т.к. угол π/2 + α прилежит к оси Оу, знак «минус», т.к. угол π/2 + α находится во II четверти, где косинус отрицателен.

2) Заполните таблицу:

	π + α	π - α	2π + α	2π - α	π/2 + α	π/2 - α	3π/2+α	3π/2- α
sin х
cos x
tg x
ctg x

 

3) Найдите значения выражений:

а) cos 300⁰

Представим 300⁰как 270⁰ + 30⁰ и воспользуемся формулой приведения:

cos 300⁰ = cos (270⁰ + 30⁰) = sin 30⁰ (название функции косинус поменялось на синус, т.к. угол 300⁰ прилежит к оси Оу, перед формулой знак +, т.к. угол 300⁰ находится в IV четверти, где косинус положителен)

 

б) sin (- 120⁰) = ____________________________________________________

 

в) tg (135⁰) = ______________________________________________________

 

г) cos 8π/3 = _______________________________________________________

Выделим из данного угла количество целых оборотов 2π.

cos 8π/3 = cos (2π + 2π/3).

Полные обороты можно отбросить:

cos 8π/3 = cos (2π + 2π/3) = cos 2π/3.

Угол 2π/3 можно представить как π – π/3, а затем применить формулу приведения:

cos 8π/3 = cos (2π + 2π/3) = cos 2π/3 = cos (π – π/3) = - cos π/3 = - 1/2

д) sin 25 π/6 = ______________________________________________________

______

VI. Формулы сложения