Тема № 3. Физика колебательных процессов

Колебания – это периодическое изменение положения тела или системы относительно некоторого центра равновесия. Это изменение положения характеризуется амплитудой и периодом (частотой) колебаний.

Колебания здания представляют собой суперпозицию собственных и вынужденных колебаний, вызванных различными внутренними (работой бытовой техники и технических систем здания) и внешними (городским транспортом, стройками, ветровым воздействием и сейсмической активностью) воздействиями. В таблице 3.1 приведены значения периодов собственных колебаний зданий в зависимости от вида ограждающих конструкций.

 

Таблица 3.1 – Период собственных колебаний зданий по горизонтальным осям

 

Число этажей	Период, с
Крупнопанельные здания	Крупноблочные и кирпичные здания	Каркасные здания
	0,18-0,27 0,36-0,57 0,46-0,74 0,56-0,91 0,66-1,09 0,76-1,26	0,22-0,35 0,39-0,61 0,47-0,77 0,56-0,93 0,64-1,09 0,73-1,25	0,26-0,42 0,61-0,93 0,81-1,22 1,01-1,51 1,21-1,81 1,41-2,10

 

 

При совпадении частот собственных и внешних колебаний возникает резонанс, что может привести к разрушению конструкции отдельных частей здания или сооружения в целом.

При свободных затухающих колебаниях на систему действуют две силы: сила, заставляющая систему совершать колебания, и сила сопротивления среды. Сопротивление среды характеризуется коэффициентомсопротивления, который влияет на затухание колебаний. Поэтому все колебания, возникающие в строениях, являются затухающими.

На площадках, сейсмичность которых превышает 9 баллов, возводить здания и сооружения, как правило, не допускается. При необходимости строительство на таких площадках ведется при обязательном научном сопровождении и участии специализированной научно-исследовательской организации. Проектирование зданий высотой более 75 м и сооружений с пролетами более 50 м также должно осуществляться при участии таких организаций.

Колебания зданий и сооружений могут быть горизонтальными и вертикальными, а также крутильными относительно вертикальной оси. Колебания любого типа подчиняются теории колебательного движения и его законам.

Задание 3.1. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению х= 0,02cos (πt+π/ 2 ) м. Определить амплитуду, период и начальную фазу колебаний, максимальные скорость и ускорение точки, а также значение времени после начала отсчета, когда точка будет проходить через положение равновесия.

Решение. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

х=А cos (ω_оt+φ),

где А – амплитуда колебаний, м;

ω_о – собственная частота колебаний, рад/с;

t – время колебаний, с;

φ – начальная фаза колебаний, рад.

Период колебаний и собственная частота связаны между собой соотношением

Т=2π/ω_о.

С помощью данных выражений получено: амплитуда колебаний равна 0,02 м, начальная фаза – π/ 2, период – 2 с.

Скорость колебаний определяется как первая производная координаты по времени, ускорение – как вторая производная. Отсюда следует

υ=- 0,02 π sin (πt+π/ 2 )

и

a=- 0,02 π² cos (πt+π/ 2 ).

Данные величины принимают максимальные значения при равенстве единице тригонометрических функций, следовательно,

υ_max= 0,02 π м/с

и

a_max= 0,02 π² м/с².

При определении времени прохождения точки через положение равновесия после начала отсчета необходимо приравнять координату к нулю и решить тригонометрическое уравнение

0,02cos (πt+π/ 2 )=0.

В данном случае время определяется набором натуральных чисел, которые показывают значения времени в секундах после начала колебаний, когда точка будет проходить через положение равновесия, то есть 0, 1, 2, 3, 4 и так далее.

Ответ: А= 0,02 м, φ=π/2, Т= 2 с, υ_max= 0,0628 м/с, a_max= 0,197 м/с²,

t= 0, 1, 2, 3, 4, …, с.

 

Таблица 3.2 – Задание 3.1 по вариантам

№ варианта	Уравнение гармонических колебаний, м
	х= 0,2cos (πt+π)
	х= cos (πt+π/ 4 )
	х= 2cos (πt+π/ 3 )
	х= 0,04cos ( 2 πt+π/ 6 )
	х= 0,8cos (5πt)
	х= cos ( 2 πt)
	х= 0,25cos ( 4 πt+π/ 2 )
	х= 0,5cos ( 5 πt+π/ 4 )
	х= cos (πt+π/ 2 )
	х= 0,1cos (πt)

 

 

Задание 3.2. Тело массой 10 г совершает гармонические колебания по закону х= 0,1cos ( 4 πt+π/ 4 ) м. Определить максимальные значения возвращающей силы и кинетической энергии.

Решение. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

х=А cos (ω_оt+φ),

Скорость колебаний определяется как первая производная координаты по времени, ускорение – как вторая производная. Отсюда следует

υ=- 0,4πsin ( 4 πt+π/ 4 )

и

a=- 1,6 π² cos ( 4 πt+π/ 4 ).

Максимальные значения возвращающей силы и кинетической энергии будут определяться через максимальные значения скорости и ускорения

υ_max= 0,4 π м/с

и

a_max= 1,6 π² м/с².

Максимальное значение возвращающей силы

F_max=ma_max.

Максимальное значение кинетической энергии

E_kmax=mυ²_max/ 2.

Расчеты дают следующие значения F_max= 0,158 Н, E_kmax= 7,89 мДж.

Ответ: F_max= 0,158 Н, E_kmax= 7,89 мДж.

 

 

Таблица 3.3 – Задание 3.2 по вариантам

№ варианта	Масса тела, г	Уравнение гармонических колебаний, м
		х= 0,2cos (πt+π)
		х= cos (t+π/ 4 )
		х=2 cos (t+π/ 3 )
		х= 0,04cos ( 2 πt+π/ 6 )
		х= 0,8cos ( 5 πt)
		х= cos ( 2 πt)
		х= 0,25cos ( 4 πt+π/ 2 )
		х= 0,5cos ( 5 πt+π/ 4 )
		х= cos (t+π/ 2 )
		х= 0,1cos (πt)

Задание 3.3. Материальная точка массой 20 г совершает гармонические колебания по закону х= 0,1cos ( 4 πt+π/ 4 ) м. Определить полную энергию этой точки.

Решение. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

х=А cos (ω_оt+φ).

Полная энергия точки определяется как сумма кинетической Е_к и потенциальной Е_п энергий. Кинетическая энергия будет вычисляться по формуле

.

Потенциальная энергия – по формуле

.

Полная энергия точки

.

После вычисления получается значение 15,8 мДж.

Ответ: Е =15,8 мДж.

 

Таблица 3.4 – Задание 3.3 по вариантам

№ варианта	Масса тела, г	Уравнение гармонических колебаний, м
		х= 0,2cos (πt+π)
		х= cos (t+π/ 4 )
		х= 2cos (t+π/ 3 )
		х= 0,04cos ( 2 πt+π/ 6 )
		х= 0,8cos ( 5 πt)
		х= cos ( 2 πt)
		х= 0,25cos ( 4 πt+π/ 2 )
		х= 0,5cos ( 5 πt+π/ 4 )
		х= cos (t+π/ 2 )
		х= 0,1cos (πt)

 

 

Задание 3.4. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой 5 см и собственной частотой колебаний π/ 12 рад/с без начальной фазы. Когда возвращающаяся сила в первый раз достигает значения -12 мН, потенциальная энергия точки оказывается равной 0,15 мДж. Определить этот момент времени.

Решение. Уравнение колебаний в этом случае имеет вид х= 0,05cos (πt/ 12 ) м. Возвращающая сила определяется по формуле

F=-kx=-Ak cos ωt,

где k – коэффициент упругости, Н/м.

Потенциальная энергия вычисляется по формуле

.

Взяв отношение потенциальной энергии к силе, получим

.

Из данного равенства выражается время

.

После вычисления получим искомое значение времени 4 с.

Ответ: t= 4 с.

 

Таблица 3.5 – Задание 3.4 по вариантам

№ варианта	Амплитуда, см	Собственная частота колебаний, рад/с	Возвращающаяся сила, мН	Потенциальная энергия, мДж
		π/ 2	-5	0,15
		π/ 3	-10
		π/ 4	-15	0,5
		π/ 6	-20	0,25
		π/ 3	-10	0,75
		π/ 2	-20	0,2
		π/ 4	-25	0,4
		π/ 6	-5	0,5
		π/ 12	-12
		π/ 2	-10	0,5

 

 

Задание 3.5. На горизонтальной пружине жесткостью k =900 Н/м укреплен шар массой М =4 кг, лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без трения. Пуля массой m =10 г, летящая с горизонтальной скоростью υ_о =600 м/с и имеющая в момент удара скорость, направленную вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нем. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить амплитуду и период колебаний шара.

Решение. Скорость υ движения системы шар-пуля определяется из закона сохранения импульса

mυ_o=(M+m) υ,

таким образом,

.

Амплитуда колебаний находится из закона сохранения энергии

или

.

Ответ: А =0,1 м.

 

Таблица 3.6 – Задание 3.5 по вариантам

№ варианта	Жесткость пружины, Н/м	Масса шара, кг	Масса пули, г	Скорость пули,м/с

 

 

Задание 3.6. Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями x₁= 3cos2 πt, x₂= 3cos ( 2 πt+π/ 4 ) см. Определить для результирующего колебания амплитуду и начальную фазу колебаний. Записать уравнение результирующего колебания и представить векторную диаграмму сложения амплитуд.

Решение. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

х=А cos (ω_оt+φ).

Следовательно, собственная частота каждого колебания равна 2 π рад/с, амплитуда по 3 см, начальная фаза первого колебаний φ₁ =0, второго – φ₂=π/ 4.

Амплитуда результирующего колебания определяется по формуле

,

где Δφ = φ₂-φ₁ – разность фаз. Амплитуда равна 5,54 см.

Фаза результирующего колебания определяется согласно выражению

.

После вычисления получается число π/ 8. Уравнение результирующего колебания будет иметь вид

х= 5,54cos ( 2 πt+π/ 8 ) см.

Векторная диаграмма сложения амплитуд представлена на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 – Векторная диаграмма сложения амплитуд

 

 

Таблица 3.7 – Задание 3.6 по вариантам

№ варианта	Уравнение первого колебания, см	Уравнение второго колебания, м
	cos t	0,01cos (t+π/ 2 )
	2cos πt	0,02cos (πt+π/ 3 )
	3cos πt	0,03cos (πt+π/ 3 )
	4cos2 πt	0,04cos ( 2 πt+π/ 4 )
	5cos t	0,05cos (t+π)
	6cos t	0,06cos t
	7cos πt	0,07cos (πt+π/ 4 )
	8cos πt	0,08cos (πt+π/ 3 )
	9 cos2 πt	0,09cos ( 2 πt+π/ 6 )
	cos t	0,01cos (t+π/ 6 )

 

 

Задание 3.7. Результирующее колебание, получающееся при сложении двух гармонических колебаний одного направления, описывается уравнением х=А cos t cos45 t, время в секундах. Определить циклические частоты складываемых колебаний и период биения результирующего колебания.

Решение. Координата результирующего колебания в этом случае определяется по формуле

,

где ω₁ и ω₂ – собственные частоты складывающихся колебаний;

А – амплитуда колебания.

Из данного равенства следует

и

.

После вычислений получается, что ω₁ =46 рад/с и ω₂= 44 рад/с.

Период биения вычисляется по формуле

,

что дает величину, равную 3,14 с.

Ответ: ω₁ =46 рад/с, ω₂= 44 рад/с, Т =3,14 с.

 

Таблица 3.8 – Задание 3.7 по вариантам

№ варианта	Уравнение гармонического колебания, м
	х= 0,5 А cos t cos10 t
	х= 2 А cos2 t cos20 t
	х=А cos5 t cos25 t
	х= 2 А cos10 t cos30 t
	х=А cos10 t cos40 t
	х=А cos20 t cos50 t
	х= 3 А cos5 t cos55 t
	х=А cos20 t cos60 t
	х= 4 А cos20 t cos70 t
	х=А cos30 t cos80 t

 

 

Задание 3.8. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x= 3cos2 ωt и y=4 cos ( 2 ωt+π), см. Определить уравнение траектории точки и начертить ее с нанесением масштаба.

Решение. Выполним некоторые преобразования в уравнениях колебания:

y=- 4cos2 ωt,

cos2 ωt=-y/ 4,

cos2 ωt=x/ 3,

-y/ 4 =x/ 3,

y=(- 4/3 )x.

Получившееся равенство представляет собой прямую линию, график которой представлен на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2 – График траектории точки

 

Таблица 3.9 – Задание 3.8 по вариантам

№ варианта	Уравнение первого колебания, см	Уравнение второго колебания, см
	x= cos ωt	y= 4cos (ωt+π)
	x= 3cos ωt	y= 6cos (ωt+π)
	x= 2cos2 ωt	y= 8cos ( 2 ωt+π)
	x= 5cos3 ωt	y= 10cos ( 3 ωt+π)
	x= 10cos4 ωt	y= 10cos ( 4 ωt+π)
	x= 8cos2 ωt	y= 24cos ( 2 ωt+π)
	x= 12cos6 ωt	y= 36cos ( 6 ωt+π)
	x= 15cos8 ωt	y= 5cos ( 8 ωt+π)
	x= 20cos2 ωt	y= 4cos ( 2 ωt+π)
	x= 5cos ωt	y= 5cos (ωt+π)

 

 

Задание 3.9. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x=A sin (ωt+π/ 2 ), y=A sin ωt. Определить уравнение траектории точки и начертить ее с нанесением масштаба. Определить направление движения точки по траектории.

Решение. Выполним некоторые преобразования в уравнениях колебания:

х=A cos ωt,

x²+y²=A² cos ²ωt+A² sin ²ωt,

x²+y²=A².

Последнее уравнение представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом, равном амплитуде А. Если подставить значения времени в уравнения движения по осям x и y, можно получить направление движение точки. В данном случае против часовой стрелки. Траектория движения представлена на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 – Траектория движения точки

 

Таблица 3.10 – Задание 3.9 по вариантам

№ варианта	Уравнение первого колебания, м	Уравнение второго колебания, м
	x=A cos (ωt- 2 π)	y=A sin ωt
	x= 0,5 A sin (ωt+π/ 2 )	y= 0,5 A sin ωt
	x=A cos (ωt)	y=A sin ωt
	x= 4 A sin (ωt+π/ 2 )	y= 4 A sin ωt
	x= 5 A sin ωt	y= 5 A sin (ωt+π/ 2 )
	x= 0,1 A sin (ωt+π/ 2 )	y= 0,1 A sin ωt
	x=A sin ωt	y=A cos ωt
	x= 0,1 A sin ωt	y= 0,1 A sin(ωt+π/ 2 )
	x= 3 A sin ωt	y= 3 A cos ωt
	x=A2 sin (ωt+π/ 2 )	y=A2 sin ωt

 

Задание 3.10. Тело массой m =100 г, совершая затухающие колебания, за время τ =1 мин потеряло 40 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления r.

Решение. Коэффициент сопротивления определяется через коэффициент δ затухания при механических колебаниях

δ=r/2m.

Энергия колебаний определяется по формуле

.

Амплитуда колебаний изменяется согласно закону

,

где А_о – начальная амплитуда колебаний.

Напишем отношение энергий колебаний в начальный момент времени к энергии колебаний через время τ =1 мин и получим коэффициент затухания

Учитывая полученное выражение, найдем коэффициент сопротивления

.

Ответ: r =8,51^.10^-4 кг/с.

 

Таблица 3.11 – Задание 3.10 по вариантам

№ варианта	Масса тела, г	Время	Потери энергии, %
		20 с
		25 с
		30 с
		40 с
		50 с
		1 мин
		1,5 мин
		2 мин
		2 мин 10 с
		2 мин 25 с

 

Задание 3.11. Период затухающих колебаний системы составляет 0,2 с, а отношение амплитуды первого и шестого колебаний А₁/А₆ =13. Определить резонансную частоту данной колебательной системы.

Решение. Амплитуда затухающих колебаний определяется через начальную амплитуду А_о и коэффициент δ затухания

.

Отношение амплитуд получается равным

.

Из этого соотношения найдем коэффициент затухания

.

Угловая резонансная частота ω_рез и угловая частота ω колебаний определяются через собственную угловую частоту ω_о колебаний, период Т колебаний и коэффициент затухания

Искомая резонансная частота колебательной системы равна

.

Вычисления по приведенным формулам дают величину 4,98 Гц.

Ответ: ν_рез =4,98 Гц.

 

Таблица 3.12 – Задание 3.11 по вариантам

№ варианта	Период затухающих колебаний, с	Отношение амплитуды первого и шестого колебаний
	0,1
	0,2
	0,3
	0,4
	0,5
	0,6
	1,3
	1,5
	1,8