Процесс зарядки конденсатора можно представить как последовательный перенос достаточно малых порций заряда Δ q > 0 с одной обкладки на другую (рис. 1.7.1). При этом одна обкладка постепенно заряжается положительным зарядом, а другая – отрицательным. Поскольку каждая порция переносится в условиях, когда на обкладках уже имеется некоторый заряд q, а между ними существует некоторая разность потенциалов 
при переносе каждой порции Δ q внешние силы должны совершить работу 
Энергия W е конденсатора емкости C, заряженного зарядом Q, может быть найдена путем интегрирования этого выражения в пределах от 0 до Q:
|
|
| Рисунок 1.7.1. Процесс зарядки конденсатора |
Формулу, выражающую энергию заряженного конденсатора, можно переписать в другой эквивалентной форме, если воспользоваться соотношением Q = CU.
|
Электрическую энергию W е следует рассматривать как потенциальную энергию, запасенную в заряженном конденсаторе. Формулы для W е аналогичны формулам для потенциальной энергии E р деформированной пружины (см. ч. I, § 2.4)
|
где k – жесткость пружины, x – деформация, F = kx – внешняя сила.
По современным представлениям, электрическая энергия конденсатора локализована в пространстве между обкладками конденсатора, то есть в электрическом поле. Поэтому ее называют энергией электрического поля. Это легко проиллюстрировать на примере заряженного плоского конденсатора.
Напряженность однородного поля в плоском конденсаторе равна E = U / d, а его емкость 
Поэтому
|
где V = Sd – объем пространства между обкладками, занятый электрическим полем. Из этого соотношения следует, что физическая величина
|
является электрической (потенциальной) энергией единицы объема пространства, в котором создано электрическое поле. Ее называют объемной плотностью электрической энергии.
Энергия поля, созданного любым распределением электрических зарядов в пространстве, может быть найдена путем интегрирования объемной плотности w е по всему объему, в котором создано электрическое поле.
§16 Плотность энергии электрического поля
Теперь предположим, что имеется непрерывное распределение зарядов, задаваемое объемной плотностью ρ(r→). Тогда в элементарном объеме dV содержится заряд
dq = ρ(r→)dV,
а формула (39′) приобретает такой вид
| W = 1 2 ∫ ρ(r→)ϕ(r→)dV. | (16.1) |
Некоторое замечание надо сделать для обоснования перехода (39′)→(42). При переходе к объемному распределению под интегралом, вообще говоря, следовало писать
ρ(r→)ϕ′(r→),
понимая под ϕ′(r→) потенциал всех зарядов, за исключением элементарного заряда ρdV. Мысленно представим заряд ρdV в виде равномерно заряженного шарика малого радиуса δ с центром в точке r→ и с плотностью заряда ρ(r→). Легко вычислить, что потенциал этого заряда в центре шарика = 3 2 q δ = 3 2 1 δ ⋅4 3πδ3ρ = 2πδ2 ⋅ ρ(r→), и следовательно,
ϕ′(r→) = ϕ(r→) − 2πρ(r→)δ2.
Отсюда видно, что при δ → 0 ϕ′→ ϕ(r→) и замена ϕ′(r→) на ϕ(r→), таким образом, действительно допустима.
Теперь осуществим некоторое тождественное преобразование выражения (42), заменив в последнем ρ, согласно уравнению Пуассона (13), на −1 4πΔϕ и используя формулу векторного анализа
div(ϕgradϕ) = ϕΔϕ + gradϕ)2;
в результате получим
W = − 1 8π ∫ div(ϕgradϕ)−gradϕ)2]dV = 1 8π ∮ SϕEndS+ 1 8π ∫ V E2dV,
где S — поверхность, ограничивающая объем V. Если заряды занимают ограниченный объем в пространстве, а в качестве поверхности S принять поверхность сколь угодно большого радиуса R, то при R →∞ интеграл по поверхности
∮ SR → 0,
так как на больших расстояниях ϕ и En совпадают по крайней мере не медленнее, чем 1 R и 1 R2 (если, повторим, заряды занимают конечный объем пространства), а поверхность растет как R2.
Итак, в результате тождественного преобразования выражения (42) получим формулу
| W = ∫ E2 8πdV | (16.2) |
в виде интеграла по всему пространству, занятому полем, которая по сравнению с исходной формулой (39) имеет не только новый вид, но, по существу, и новый смысл, определяя плотность энергии электрического поля в пространстве
| W = E2 8π. | (16.3) |
В то время как (39) описывает только энергию взаимодействия разных зарядов (i≠j), формула (42) и следующая из нее формула (43) включают также и собственную энергию каждого из этих зарядов. В терминах поля можно сказать, что формулы (42), (43) описывают полную энергию электрического поля, тогда как (39) - только часть этой энергии.
Представление об энергии электрического поля, распределенном в пространстве с объемной плотностью (44) здесь получено на основе строгих рассуждений. А теперь получим выражение (44) из рассмотрения конкретного примера. Понятно, что никакие примеры доказательства справедливости (44) для общего случая дать не могут. Зато конкретные примеры могут дать наглядное представление о том, как соотношение (44) «работает».
Начнем с обсуждения вспомогательного вопроса о силах, действующих на поверхностные заряды со стороны электрического поля. Более конкретно – силы, действующие на заряды поверхности проводника.
Мы знаем, что на точечный заряд q со стороны электрического поля E→ действует сила
F→ = qE→,
где E→ – напряженность поля, возбуждаемого всеми зарядами системы, кроме самого заряда q. Когда же мы обращаемся к силам, действующим на поверхностные заряды, возникает трудность, связанная с тем, что поле E→ по разные стороны поверхности имеет разные значения, а на самой поверхности неопределено. Как мы уже обсуждали, внутри проводника поле тождественно равно нулю, а с внешней стороны поверхности имеет только нормальную компоненту, связанную с локальной поверхностной плотностью σ (см. рис. 34). Понятно, что представление о разрыве поля обусловлено неявным отказом от рассмотрения структуры тонкого слоя, где расположены заряды, и предположим, что этот слой представляет собой бесструктурную математическую поверхность. Такая идеализация весьма продуктивна, позволяя нам определить поля вне и внутри проводника, пользуясь простыми средствами. Определение структуры поверхностного слоя для металлических проводников проводится с учетом функции распределения Ферми-Дирака для электронов проводимости и пока для нас недоступно. Но тот факт, что поверхность проводника, где сосредоточены заряды, на самом деле обладает некоторой конечной толщиной δ, хотя и весьма малой, где заряды распределены по объему, позволяет легко получить выражение, связывающее силы, действующие на поверхность проводника, с напряженностью поля вблизи этой поверхности.
Итак, рассмотрим выделенный на рис. 34 участок поверхности dS проводника. Имея ввиду, что толщина слоя очень мала, кривизной поверхности можно пренебречь и считать поверхность проводника и рассматриваемый слой плоскими.
По внешней нормали к поверхности проводника проведем ось x и пусть слой, где распределены заряды, занимает область [0,δ](рис. 35). Можно считать, что поле E→ внутри и вблизи слоя не зависит от координат y,z и имеет только x-компоненту Ex(x), а объемная плотность заряда характеризуется функцией ρ(x). Левее этого слоя электрическое поле равно нулю (поле внутри проводника). Следовательно, Ex(x) внутри слоя удовлетворяет уравнению
dEx dx = 4πρ(x),(∗)
граничному условию E(0) = 0 и имеет решение
Ex(x) = 4π ∫ 0xρ(ξ)dξ.
Теперь нетрудно найти силу, действующую на слой,
f→ = fxe→x,fx = ∫ 0δρ(x)E x(x)dx,
приходящуюся на единицу поверхности проводника. Подставив сюда вместо ρ(x) выражение из (*), получаем
fx = 1 4π ∫ 0δE x(x)dEx dx dx = 1 8π ∫ 0δ d dx[Ex(x)]2dx,
т.е.
fx = 1 8πE02,
где E0 = Ex(δ) = 4π ∫ 0δρ(x)dx = 4πσ – напряженность поля на внешней поверхности проводника.
Таким образом,сила, действующая на поверхность проводника, определяется суммарным зарядом σ = ∫ 0δρ(x)dx, приходящимся на единицу площади поверхности, и не зависит от распределения ρ(x). Обратим внимание, что при любом знаке заряда σ, т.е. при любом направлении поля E→0, сила f→ направлена вдоль внешней нормали, т.е.
| f→ = E02 8π n→. | (16.4) |
Заметим, что результат (45) справедлив для любой заряженной поверхности, если только по одну сторону от поверхности напряженность поля равна нулю.
Теперь обратимся к примеру, призванному служить иллюстрацией к выражению
W = 1 8π ∫ E2dV.
Пример 1. Пусть сферическая поверхность радиуса R равномерно заряжена с суммарным зарядом q. Рассмотрев процесс расширения сферы до радиуса R + dR найти выражение для плотности энергии электрического поля.
Имеем
в начальном состоянииEr = q r2 приr > R 0приr < R
в конечном состоянииEr = q r2 приr > R + dR 0приr < R + dR
Поля изображены на рисунке 36.
Со стороны электрического поля на сферу действуют силы с плотностью
fr = 1 8πE02,E 0 = q R2.
Эти силы совершают работу
δA = fr ⋅ 4πR2dR = 1 8πE02 ⋅ 4πR2dR.(а)
В процессе расширения сферы электрическое поле в пространстве r > R + dR осталось без изменения, а в сферическом слое (R,R+ dR) исчезло полностью, т.е. энергия электрического поля изменилась на величину
dW = −W ⋅ 4πR2dR,(б)
где W – искомая объемная плотность энергии.
Согласно закону сохранения энергии
δA = −dW,
т.е. работа δA электрических сил совершена за счет убыли энергии электрического поля. Подставляя сюда выражения (а) и (б), после сокращения на объем слоя 4πR2dR получаем W = 1 8πE02 – то, что мы хотели увидеть.
Замечание. Этой сферой можно воспользоваться для решения обратной задачи: считая, что плотность энергии W нам известна, найти поверхностную силу fr, отнесенную к единице поверхности заряженной сферы со стороны электрического поля. Решение очевидно.
В качестве второго примера вычислим энергию поля равномерно заряженного шара радиуса a
Er = q r2 при r ≥ R q a3 r при r < a
W = 1 8π ∫ 0aq2 a6r2 ⋅ 4πr2dr + 1 8π ∫ a∞q2 r44πr2dr = 3 5 q2 a.
Воспользуемся полученным результатом для введения понятия «классический радиус частицы».
По теории относительности поле с энергией W обладает массой m = W∕c2. Следовательно, любая частица с массой m и зарядомq не может иметь размер, меньший
rq = q2 mc2,
т.к. масса частицы не может быть меньше массы ее поля (при выписывании этой формулы константа 3/5 не принимается во внимание).
Например, для электрона
re = e2 mc2 ≃ 2,8 ⋅ 10−13см.
В следующем семестре мы скажем, что на таких расстояниях классическая электродинамика неприменима, а пока на этом остановимся.
