Решение системы дифференциальных уравнений

Постановка задачи

 

Дана схема электрической цепи, содержащая источник переменного тока, катушку индуктивности, конденсатор, набор резисторов и ключ (рис. 1).

I2

C

R6

R5

R1

R2

R3

R4

I

L

I1

Рис. 1

 

Параметры элементов цепи:

E(t)= E₀(t)sin(ωt+ φ) – гармонический источник тока

E₀= 15 В – амплитуда колебаний

ω= 2πƒ – циклическая частота

ƒ=40 Гц – линейная частота

φ=0 рад – фаза

t – текущее время

t₀= 0 с; t₁= 0,01 с; t₂= 0,02 с – заданное время

T₁= 0,002 с; T₂= 0,008 с – заданное время для решения задачи аппроксимации и вычисления количества теплоты

R₁= 30 Ом, R₂= 25 Ом, R₃= 50 Ом, R₄= 1,88 Ом, R₅= 15 Ом, R₆= 50 Ом – резисторы

L= 5,57 мГн – катушка индуктивности

C= 20 мкФ – конденсатор

В начальный момент времени t= t₀= 0 ключ находится в положении 1. При этом цепь разомкнута, напряжение на конденсаторе и ток на катушке равны нулю (U=0, I=0). Происходит первое переключение ключа (ключ мгновенно переводится в положение 2). При этом происходит заряд конденсатора, меняются значения U и I.

В момент времени t= t₁= 0,01 c ключ мгновенно переключается в положение 1. Конденсатор разряжается, вновь меняются значения U и I. Анализ схемы заканчивается в момент t= t₂= 0,02 c.

 

Вывод системы дифференциальных уравнений

 

В соответствии с рисунком запишем выражения для I и II законов Кирхгроффа для положения ключа 1:

(1)

Систему (1) можно преобразовать, исключив токи I₁ и I₂. Тогда для величин I и U получим систему дифференциальных уравнений первого порядка:

(2)

Аналогично может быть получена система дифференциальных уравнений для величин U и I при положении ключа 2. В этом случае им (3)

 

В интервале t₀≤t≤t₁ решается система (3) с начальными условиями:

I(t­₀)= 0; U(t₀)= 0. В интервале t₁≤t≤t₂ решается система (2). В качестве начальных условий для системы (2) I(t­₁), U(t₁) следует использовать соответствующие значения, полученные в результате решения системы (3).

 

Задание на курсовую работу

 

1. Численная реализация решения систем дифференциальных уравнений (2) и (3):

· в пакете MathCad, используя алгоритм второй модификации метода Эйлера;

· в пакете MathCad, используя метод Рунге-Кутта;

· алгоритмически, построив блок-схему и программу на языке C++, используя алгоритм второй модификации метода Эйлера.

Сравнить результаты. При построении алгоритма и программы перевести все величины в систему СИ. На выходе первого этапа должен быть файл данных, содержащий дискретные зависимости U(t) и I(t). Шаг дискретизации (печати) должен быть таким, чтобы обеспечить не менее 40 значений величин I и U на интервале t₀≤t≤t₂.

2. Решение задачи аппроксимации зависимости I(t) на интервале T₁≤T≤T₂.

· используя пакет Excel (матричный метод, мастер диаграмм с выводом уравнения линии тренда);

· в пакете MathCad, используя алгоритм метода наименьших квадратов. На выходе второго этапа получается аналитическая формула для величины I(t).

3. Численное интегрирование. Необходимо определить количество теплоты, выделяемой на резисторе R₄ за период времени T₁≤T≤T₂ с помощью решения интеграла:

(4)

где зависимость I(t) берется из результатов предыдущего этапа. Численное интегрирование проводят:

· В пакете MathCad, используя метод Симпсона.

· Написав программу на языке C++.

Сравнить результаты и оценить ошибки.

4. Сделать конструктивные выводы по результатам выполненной работы.

 

 

Решение системы дифференциальных уравнений

 

Численное решение системы дифференциальных уравнений в MathCad

Численное решение системы дифференциальных уравнений в среде MathCad было реализовано с помощью метода Рунге-Кутта и второй модификации метода Эйлера. В методе Рунге-Кутта использовалась встроенная функция rkfixed(). Получены графики зависимости силы тока и напряжения от времени согласно системе уравнений. При наложении графики, полученные разными методами, совпали, значит расчеты проведены верно.