Теорема Штейнера – Лемуса

Зміст

1. Узагальнена теорема синусів.

2. Теорема Чеві.

3. Видатні точки.

4. Вписані та дотичні кола.

5. Теорема Штейнера – Лемуса.

6. Ортотрикутник.

7. Серединний трикутник і пряма Ейлера.

8. Коло дев’яти точок.

9. Педальний трикутник.

10. Висновок.

 

 

Узагальнена теорема синусів.

Теорема синусів – це тригонометрична теорема, якою ми будемо часто користуватися. Нажаль, ця теорема зазвичай появляється в підручниках в неповній формі, і в цьому вигляді вона не приносить такої користі, яку б могла принести узагальнена теорема. Тому я доведу теорему синусів в бажаній для себе формі.

Нехай маємо трикутник АВС (зазначений звичайним способом), описуємо навколо нього коло з центром в точці О і радіусом R, як показано на малюнках 1 і 2. Проведемо діаметр CJ і хорду BJ. На обох малюнках - прямий, так як він вписаний в півкруг. Тому, на обох малюнках

 

sin = = .

 

На малюнку 1 , оскільки кути J і A опираються на одне і те ж коло. На малюнку 2 , тому що протилежні кути вписаного чотирикутника є доповняльними. Згадуючи, що sin sin(), отримуємо, що в обох випадках

sin sin , звідси, sin , звідси випливає:

 

.

 

Та ж сама процедура, використовується і для інших кутів трикутника АВС:

 

,

Мал. 1 Мал. 2

Об’єднуючи результати, ми можемо сформулювати узагальнену теорему синусів наступним чином:

Теорема 1.1. Для трикутника АВС з радіусом описаного кола R виконуються співвідношення:

Задача 1.

Довести, що для будь-якого трикутника АВС .

Доведення: нехай дано трикутник ABC зі сторонами a,b і с. Відомо що площа будь-якого трикутника обчислюється за формулою:

(1.1)

За узагальненою теоремою синусів:

 

Звідси . Підставимо отриманий вираз у формулу (1.1).

Отримаємо, що . Рівність доведена.

Задача 2.

Показати, що в будь-якому трикутнику АВС.

(1.2)

Розв’язок. За теоремою синусів:

 

Підставимо ці вирази в умову задачі:

 

 

Отже, формула (1.2) вірна.

 

Теорема Чеві.

Відрізок, який з’єднує вершину трикутника з деякою точкою на протилежній стороні, називається чевіаною. Таким чином, якщо в трикутнику АВС X,Y і Z – точки, що лежать на сторонах ВС,АС,АВ відповідно, то відрізки АX,BY,CZ є чевіанами. Цей термін походить від імені італійського математика Джованні Чеві, який в 1678 році опублікував наступну дуже корисну теорему:

Теорема 1.21. Якщо три чевіани АX,BY,CZ (по одній з кожної вершини) трикутника АВС конкурентні, то

.

 

Коли ми говоримо, що три прямі (або відрізки) конкурентні, то ми маємо на увазі, що всі вони проходять через одну точку, яку позначаємо через Р. Для доведення теореми Чеві нагадаємо, що площі трикутників з рівними висотами пропорційні основам трикутників. Якщо поглянути на малюнок 3, ми маємо:

.

Аналогічно,

.

Тепер, якщо ми перемножимо їх, то отримаємо:

 

.

Мал. 3

Також виконується обернена теорема:

 

Теорема 1.22. Якщо три чевіани АX,BY,CZ задовольняють співвідношення:

,

то вони конкурентні.

Щоб це показати, припустимо, що дві першу чевіани перетинаються в точці Р, як і в попередньому випадку, а третя чевіана, якак проходить через точку Р буде CZ′. Тоді, за теоремою 1.21,

 

.

 

 

Але за умовою теореми:

 

.

Звідки маємо, що

,

Точка Z′ співпадає з точкою Z, отже відрізки АX,BY і CZ конкурентні.

 

 

Задача 3.

Довести, що якщо X, Y, Z – середини сторін, то відповідні їм три чевіани конкурентні.

Доведення. Розглянемо малюнок 3 з однією поправкою (тепер у нас ).

Звідси

 

Отже

 

 

Тоді за теоремою 2.2 (ст.6) ці три чевіани конкурентні.

Задача 4.

 

Довести, що чевіани, які перпендикулярні протилежним сторонам, конкурентні.

 

Доведення. Тут також можна скористатися малюнком 3(ст.5). Тільки тепер кути при X, Y, Z – прямі. Позначимо

Трикутник ABX – прямокутний, отже . Так само з трикутника АХС знаходимо , аналогічно і для інших відрізків:

,

 

Потрібно показати, що

Підставляємо вирази:

 

Отже, чевіани AX, BY, СZ– конкурентні.

 

 

Видатні точки.

Існує багато точок і ліній, зв’язаних з трикутником. Я вже згадував одну таку точку – центр кола, описаного навколо трикутника. Зазвичай його позначають літерою О. Вона являється точкою перетину трьох перпендикулярів, які ділять пополам сторони трикутника (мал. 4). Радіус описаного кола позначають латинською літерою R.

Чевіани, які з’єднують вершини трикутника з серединами протилежних сторін, називаються медіанами. На малюнку 5 відрізки АА′, ВВ′ і СС′ - медіани, так що:

 

, , .

 

Застосовуючи теорему 1.21, можна зробити висновок, що медіани конкурентні. Їх спільна точка G називається центроїдом трикутника. Якщо б трикутник був вирізаний з одного матеріалу, то він залишався би в рівновазі, будучи підвішеним в цій точці. Іншими словами, центроїд - це не що інше, як центр ваги трикутника.

 

Мал. 4. Мал. 5.

 

Розглянувши знову малюнок 5, можна зауважити, що , так як ці трикутники мають одинакові основи і одну і ту д висоту. Тому на малюну я позначив ці площі одною і тою ж літерою x. З тих же міркувань ми маємо:

і

Тому я позначив ці площі через y і z, як показано на малюнку. Однак також ми маємо

і 2 y + z = z + 2 x,

Звідси x = y. Аналогічно, , звідси y = z. Таким чином я показав, що x = y = z. Тому справедлива така теорема:

Теорема 3.1. Трикутник ділиться своїми медіанами на шість менших трикутників з рівними площами.

Продовжимо розглядати малюнок 5, можна зауважити, що . Так як ці трикутники мають спільну висоту, отже

, , .

Можна сформулювати таку теорему:

Теорема 3.2. Медіани трикутника ділять одна одну в співвідношенні 2: 1. Іншими словами, кожна медіана трикутника відсікає третину іншої.

Чевіани AD, BE, CF (мал. 6), перпендикулярні прямим BC, CA, AB, відповідно, називаються висотами трикутника АВС.

 

Мал. 6. Мал. 7.

 

Як ми бачили в задачі 2 першого пункту, теорема, обернена до теореми Чеві встановлює конкурентність чевіан AD, BE, CF. Їх спільна точка Н називається ортоцентром.

Самі точки D,E,F називаються основами висот. З’єднуючи їх попарно, можна отримати трикутник DEF – ортотрикутник трикутника АВС.

Інша важлива сім’я чевіан утворюють бісектриси внутрішніх кутів. на малюнку 7 можна бачити одну із таких бісектрис AL. Застосовуючи теорему 1.1 до двох трикутників ABL і ALC (кути яких в точці L, є доповняльними, мають рівні синуси), ми отримуємо:

 

, .

 

 

Звідси,

 

.

 

Так само можна отримати аналогічні результати для бісектрис внутрішніх кутів B і C. Таким чином доведена наступна теорема:

Теорема 3.3. Кожна бісектриса внутрішнього кута в трикутнику ділить протилежну сторону на відрізки, довжини яких пропорційні даним прилеглим сторонам.

Будь-яка точка на прямій AL (мал. 7) рівновіддалена від прямих СА і АВ. Аналогічно, будь-яка точка на бісектрисі внутрішнього кута В рівновіддалена від прямих AB і ВА. Звідси, точка І, в якій перетинаються ці дві бісектриси, знаходиться на рівній відстані r від всіх трох сторін.

Теорема 3.4. Бісектриси трьох внутрішніх кутів трикутника конкурентні.

 

 

Мал. 8.

Коло з центром в точці І і радіуса r (мал. 8) дотикається до всіх трьох сторін і тому воно є вписаним в трикутник АВС.

 

Задача 5.

Знайти відношення площ даного трикутника та трикутника, сторони якого мають ті ж довжини, що і медіани даного.

Використовуючи малюнок 5(ст. 8), побудуємо відрізок , рівний і паралельний відрізку , при цьому чотирикутник A′CDB′- буде паралелограмом, сторона A′C паралельна і рівна стороні B′D. Точка Е є точкою перетину діагоналей A′D і B′C.

Тоді сторони трикутника DAA′ рівні і паралельні трьом медіанам, оскільки A′D паралельна ВB′ (за побудовою), AA′ - спільна, а АD паралельна СС′ (оскільки С′САD – паралелограм).

Отже

Відповідь:

 

Вписані та дотичні кола.

На малюнку 9 зображено вписане коло, яке дотикається до сторін ВС, СА і АВ в точках X, Y, Z. Так як дві дотичні до кола, проведені з зовнішньої точки, рівні, то виконуються такі рівності:

, , .

На малюнку 9 довжини цих відрізків позначені латинськими літерами x, y, z, так що:

y + z = a, z + x = b, x + y = c.

Мал. 9.

Сумуючи ці рівності і використовуючи позначення s для півпериметра (від «semiperimeter»), отримаємо

2 x + 2 y + 2 z = a + b + c = 2 s,

Тому x + y + z = s, отже можна сформулювати наступну теорему

Теорема 4.1. х = s – a, y = s – b, z = s – c.

Так як трикутник ІВС має основу а і висоту r, то його площа дорівнює . Додавши до нього аналогічні вирази для і , ми отримаємо ; звідси і доведення наступної теореми.

Теорема 4.2 .

На малюнку 10 зображено трикутник , сторони якого є бісектрисами зовнішніх кутів трикутника АВС. Будь-яка точка на бісектрисі кута В рівновіддалена від прямих АВ і ВС. Аналогічно, будь-яка точка прямої рівновіддалена від прямих ВС і СА. Звідси, точка , в якій ці бісектриси перетинаються, знаходиться на однаковій відстані від всіх трьох сторін. Так як рівновіддалена від сторін АВ і АС, то вона повинна належати множині точок, рівновіддалених від цих прямих, тобто вона повинна лежати на прямій АІ, внутрішній бісектрисі кута А:

Теорема 4.3. Зовнішні бісектриси будь-яких двох кутів трикутника конкурентні з внутрішньою бісектрисою третього кута.

 

Мал. 10.

Коло з центром в точці радіуса , яке дотикається до всіх трьох сторін трикутника, є одним із трьох дотичних кіл. Кожне із дотичних кіл дотикається до однієї із сторін трикутника всередині, а двох інших сторін (продовжених) ззовні.

Позначивши точки дотику як на малюнку 10, можна зауважити, так як дві дотичні з однієї точки до кола мають рівні довжини, то

 

Також

Звідси, дотична з точки В (або будь-якої іншої вершини) до дотичного кола, яке знаходиться за стороною, що лежить навпроти, має довжину s. Дійсно,

Крім того, так як

І так далі, то

 

 

Задача 6.

Показати що, abc = 4 srR (s,r,R набувають своїх звичайних значень).

За теоремою 4.2.

В задачі 1 було доведено, що

Прирівнюємо праві частини рівностей, і отримуємо

.

Звідси отримуємо, що abc = 4 srR.

 

 

Теорема Штейнера – Лемуса.

Теорема 5.1. Будь-який трикутник, довжини бісектрис двох кутів якого рівні (від вершини до протилежної сторони), є рівнобедреним.

Ця теорема була вислана великому шведському математику Якобу Штейнеру в 1840 році С. Л. Лемусом (ім’я якого, якби не цей випадок, було б давно забуте) з проханням дати чисто геометричне доведення. Штейнер дав напрочуд складне доведення, яке надихнуло багатьох інших на пошуки більш простих методів. Роботи по теоремі Штейнера – Лемуса появились в різних журналах в 1842, 1844, 1848 роках і майже кожен рік з 1854 року по 1864 рік, а також у великій кількості і на протязі наступного століття.

Одне із найпростіших доведень опирається на наступні дві леми:

Лема 5.1. Якщо дві хорди кола стягують різні гострі кути з вершинами на цьому колі, то меншому куту відповідає менша хорда.

Доведення. Дві рівні хорди стягують рівні кути з вершиною в центрі кола і рівні кути (як їх половини) з вершинами в відповідних точках кола. З двох нерівних хорд більш коротка, яка знаходиться дальше від центру, стягує менший кут з вершиною в центрі і, відповідно, менший гострий кут з вершиною на колі.

Лема 5.2. В трикутнику з двома різними кутами меншому куту відповідає більша бісектриса.

Доведення. Нехай АВС - трикутник, в якому < , як на малюнку 11(ст. 16); нехай відрізки BM i CN ділять навпіл кути В і С. Потрібно довести, що . Візьмемо точку М′ на відрізку ВМ так, щоб . Так як цей кут рівний куту M′BN, то чотири точки N, B, C, M′ лежать на одному колі. Оскільки

 

то

 

.

 

За лемою 5.1. . Звідси,

 

.

Доведення теореми. Часто трапляється, що теорема може бути виражена в формі “протилежній до оберненої” – еквівалентній початковій. Замість доведення самої теореми 5.1. буде достатньо довести, що якщо в трикутнику АВС , то . Але це є прямим наслідком леми 5.2.

Мал. 11.

 

 

Задача 7.

Де порушуються доведення теореми 5.2., якщо застосувати його до зовнішніх бісектрис трикутника, вякому, .

 

Розглянемо малюнок 17.1. Якщо застосувати лему 5.2. до трикутника АВС, то вона, звичайно, виконується в цій ситуації. Але, якщо замінити слово “внутрішній” на ”зовнішній”, то можна побачити, що коло BCN перетинає пряму ВМ в точці М′. При цьому точки М та М′ лежать по різні боки від точки С. Таким чином, не можна стверджувати, що .

 

Ортотрикутник.

Розглянемо малюнок 12, на якому зображений гострокутній трикутник АВС, центр О описаного навколо нього кола, ортоцентр Н і трикутник DEF.

Мал. 12.

 

Можна зауважити, що на малюнку кілька кутів позначені одним і тим же символом α, який має значення . Оскільки, так як трикутник ОА′С подібний трикутнику JBC, який зображено на малюнку 1, то . Таким чином, величина кожного з кутів при основі рівнобедреного трикутника ОВС рівна . З прямокутних трикутників АВЕ і АСF можна отримати те ж значення для кутів ЕВА і АСF. Рівність останніх двох кутів можна побачити з того факту, що чотирикутник ВСЕF є вписаним, так як кути ВЕС і ВFС – прямі. Аналогічно, використовуючи чотирикутники ВDHF і CEHD, можна побачити, що

 

.

 

Таким чином, відрізок HD є бісектрисою кута ЕDF.

Із цих же міркувань отримуємо, що відрізок HЕ ділить пополам кут FЕD, а відрізок HF - DFЕ. Тому можна сформулювати наступний дуже цікавий результат: висоти в трикутнику є бісектрисами його ортотрикутника. Цей факт можна по іншому записати в наступному вигляді:

Теорема 6.1. Ортоцентр гострокутного трикутника є центром кола, вписаного в його ортотрикутник.

Як вже було відмічено на малюнку 12, що . А так як відрізок HD перпендикулярний відрізку DВ, то і відрізок FD має бути перпендикулярний відрізку ОВ.

Аналогічно можна показати перпендикулярність відрізків DЕ і ОС, а також ЕF і ОА.

 

Задача 8.

Маємо малюнок:

Показати, що ∽ ∽ ∽ .

Так як чотирикутник BCEF може бути вписаний в коло, то , звідси ∽ . Аналогічно , отже ∽ .

Так само і для трикутника DEC. Отже вони подібні до трикутника АВС. І подібні між собою.