Вычисление вероятности событий

Случайные величины. Числовые характеристики случайной величины.

Вычисление вероятности событий

1. Случайные события
Познание действительности в естественных науках происходит в результате испытаний (эксперимента, наблюдений, опыта).
Испытанием или опытом называется осуществление какого-нибудь определенного комплексаусловий, который может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз.
Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта).
Таким образом, событие рассматривается как результат испытания.
Пример. Бросание монеты – это испытание. Появление орла при бросании – событие.
Наблюдаемые нами события различаются по степени возможности их появления и по характеру их взаимосвязи.
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.
Пример. Получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене есть событие достоверное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.
Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.
Пример. Извлечение из урны белого шара, в которой находятся лишь цветные (не белые) шары, есть событие невозможное. Отметим, что при других условиях опыта появления белого шара не исключается; таким образом, это событие невозможно лишь в условиях нашего опыта.
Далее случайные события будем обозначать большими латинскими буквами A,B,C... Два или несколько событий называются равновозможными (равносильными) в данном испытании, если имеются основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным или менее возможным, чем другие.
Пример. При одном бросании игральной кости появление 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков - все это события равновозможные. Предполагается, конечно, что игральная кость изготовлена из однородного материала и имеет правильную форму.
Два события называются несовместными в данном испытании, если появление одного из них исключает появление другого, и совместными в противном случае.
Пример. В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Берем на удачу одну деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. Эти события несовместные.
Несколько событий образуют полную группу событий в данном испытании, если в результате этого испытания обязательно наступит хотя бы одно из них.
Пример. События из примера образуют полную группу равновозможных и попарно несовместных событий.
Два несовместных события, образующих полную группу событий в данном испытании, называются противоположными событиями.
Если одно из них обозначено через A, то другое принято обозначать через (читается «не A»).
Пример. Попадание и промах при одном выстреле по цели - события противоположные.

Частота появления случайного события - отношение m/n, числа m появлений этого события в данной последовательности испытаний к общему числу n испытаний.

Примеры:

1. В первом ящике 10 кроликов, 1 из них белый. Во втором ящике тоже 10 кроликов, из них 2 белых. Какова вероятность того, что оба вслепую, наугад выбранные кролики будут белые? Ответ: Р₁ = 1/10 Р₂= 2/10 Р = Р₁* Р₂ =2/100=1/50

Какова вероятность того, что хотя бы 1 кролик будет белый? Р = Р₁+ Р₂ =3/10

2. Какова вероятность выпадения чисел «5» и «6» при двух подбрасываниях кубика?

Ответ: Событие А -----5; 6

Событие В---------6;5

Р_А = 1/6*1/6=1/36

Р_В = 1/6*1/6=1/36

Нас устраивает или А, или В, следовательно Р(А или В) = 2/36=1/18

3. Из 100 билетов 4 выигрышных.

1) Какова вероятность в первый раз вытянуть выигрышный билет?

2) Какова вероятность во второй раз вытянуть выигрышный билет, если в первый раз был невыигрышный?

3) Какова вероятность во второй раз вытянуть выигрышный билет, если в первый раз был выигрышный?

Ответы: 4/100; 4/99; 3/99

 

Аксиомы вероятности.

В теории в ероятности формулируются три аксиомы:

1. Вероятность любого события неотрицательна. Р(А)>=0

1. Вероятность того, что произойдет хотя бы один из возможных элементарных исходов

Р=1

2. Аксиома сложения вероятностей.