Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


где k Ц коэффициент упругости. «нак минус указывает, что возвращающа€ сила направлена в сторону, противоположную смещению, то есть к положению равновеси€




—√“”

 афедра прикладной физики.

Ћабораторна€ работа є1.

‘изический ма€тник.

 

“еоретический отчет:

¬ыполненна€ работа:

ќкончательный отчет:

¬ыполнила: √азенкампф ≈.Ќ. »—“-11.

 

 

÷ель работы:

»зучение гармонических колебаний; определение приведенной длины физического ма€тника и ускорени€ свободного падени€.

 

“еоретические сведени€.

√армонические колебани€ - это такие колебани€, когда смещение тела от положени€ равновеси€ зависит от времени по закону синуса или косинуса:

X=Asin(wt+j ∞) или X=Acos(wt+j∞), (1)

где X-величина смещени€ тела от положени€ равновеси€, ј - амплитуда колебани€ Ц максимальное смещение от положени€ равновеси€; wt+j∞ - фаза колебани€, определ€юща€ положение колеблющегос€ тела в данный момент.

„астота колебаний (g) равна числу полных колебаний, совершаемых за единицу времени. ≈диница частоты колебаний √ерц (√ц). ѕериодом колебаний (“) называетс€ промежуток времени, за который совершаетс€ одно полное колебание. “g=1.

÷иклическа€ частота колебани€ численно равна числу полных колебаний, совершаемых за 2p секунд: w=2pg.

“ело совершает гармонические колебани€, когда на него действует упруга€ сила, пропорциональна€ величине смещени€ от положени€ равновеси€: F=-kX, (2)

где k Ц коэффициент упругости. «нак минус указывает, что возвращающа€ сила направлена в сторону, противоположную смещению, то есть к положению равновеси€.

¬торой закон Ќьютона дл€ колеблющегос€ тела: ma=F или

md²x/dt²=-kX (3)

d²x/dt²+kX/m=0 k/m=j ² (4)

d²x/dt²+j ∞²X=0. (5)

Ёто и есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний. ќдним из решений такого уравнени€ €вл€етс€ X=Acos(wt+j∞). ÷иклическа€ частота колебаний j∞ называетс€ циклической частотой собственных колебаний. ѕериод таких колебаний:

T=2π √m/k. (6)

 инетическа€ энерги€ колеблющейс€ точки массой m:

Eкин=mv²/2 =(mj ∞² A²cos²j ∞ t)/2.

ѕотенциальна€ энерги€ квазиупругих сил, отсчитываема€ от положени€ равновеси€ данной материальной точки:

≈пот=kx/2=(kAsin t)/2=(mj ∞²A² sin²j ∞t)/2, где X Ц смещение колеблющейс€ точки от положени€ равновеси€, k Ц коэффициент квазиупругой силы.

ѕолна€ энерги€ материальной точки, совершающей гармоническое колебание с частотой w и амплитудой A: E=Eкин+Eпот.

¬ процессе движени€ происходит непрерывный переход кинетической энергии в потенциальную и обратно, но полна€ энерги€ Ц величина посто€нна€, она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

—обственные гармонические колебани€ системы Ц это идеальный случай колебаний, когда энерги€ системой не тер€етс€ и амплитуда остаетс€ посто€нной. ¬ случае реальных колебаний энерги€, переданна€ системе, постепенно расходуетс€ на преодоление сил сопротивлени€, поэтому амплитуда колебаний уменьшаетс€, колебани€ затухают. Ёти колебани€ называют затухающими (рис. 1б,в). »х частота определ€етс€ свойствами колеблющейс€ системы Ц массой, возвращающей силой, сопротивлением.

–ис.1

а б в

 

 

 

 

β=0, “о=2p\wо wо>β, T=2p\√ wо²- β² wо<β, T=∞

≈сли сила сопротивлени€ среды пропорциональна скорости колебани€, то есть Fсопр=-rdx\dt, второй закон Ќьютона дл€ колеблющейс€ точки запишетс€:

md²x\dt² =Fупр+Fсопр или md²x\dt²+rdx\dt+kx=0. (7)

¬ведем обозначени€ 2β =r\m; wо² =k\m.

–ешение уравнени€ (7) имеет вид:

X=Xоe cos(wt+jо) (8)

јмплитуда затухающих колебаний уменьшаетс€ по закону Xоe (рис.1б), частота затухающих колебаний w=√ wо²- β² < wо (9)

≈сли wо<β, частота €вл€етс€ мнимым числом и имеет место апериодический процесс Ц рис.1в.

¬ случае затухающих колебаний энерги€ убывает по закону

E(t)=Eоe (10)

¬еличина отношени€ энергии к мощности потерь за врем€ T\2p=1\w характеризует способность колебательной системы сохран€ть энергию и называетс€ добротностью Q =E(t)w\2βE(t)=w\2β=p\Tβ (11)

ƒобротность равна числу колебаний за врем€, за которое амплитуда уменьшаетс€ в e раз, а энерги€ в e раз. —тепень затухани€ колебаний характеризуетс€ логарифмическим декрементом, который определ€ет затухание колебаний за период:

O=ln(x(t)\x(t+T))= βT (12)

 аждое тело, подвешенное в точке, лежащей выше его центра т€жести, может колебатьс€ и представл€ть собой физический ма€тник. Ќа рис. 2 изображен физический ма€тник, отклоненный от положени€ равновеси€.

„ерез точку ќ перпендикул€рно рисунку проходит неподвижна€ ось, вокруг которой совершаютс€ колебани€, — Ц центр т€жести ма€тника (точка, в которой приложена сила т€жести mg).

ћомент силы mg относительно оси ќ равен M=-mglcsinα, где lc Ц рассто€ние от оси вращени€ до центра т€жести точки —. ѕри малых углах отклонени€, когда можно прин€ть sinα=α, основной закон динамики вращательного движени€, описывающий колебани€ такого ма€тника, можно записать в виде:

Jd²α\dt²=-mglcα или d²α\dt²+mglcα\J=0, (13)

√де J Ц момент инерции физического ма€тника относительно оси вращени€. Ёто уравнение аналогично дифференциальному уравнению (5); величина mglc\J €вл€етс€ квадратом круговой частоты гармонических колебаний:

mglc\J= wо² (14)

–ешение уравнени€ (13) α=αоcos(wоt+j∞) описывает гармонические колебани€, совершаемые физическим ма€тником. ѕериод таких колебаний:

T=2π √J\ mglc (15)

ƒл€ математического ма€тника (математическим ма€тником называют колеблющеес€ тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с рассто€нием от центра масс тела до оси вращени€) в случае малых углов отклонени€ дифференциальное уравнение колебаний выгл€дит:

d²α\dt²=-g α \l (16)

ѕериод колебани€ математического ма€тника:

T=2π √l\ g (17)

‘изический ма€тник,, описываемый (13), колеблетс€ с таким же периодом, как и математический ма€тник, описываемый (16), имеющий длину lо=J\mlc, где lc - рассто€ние от ќ до —.

ѕриведенной длинной lофизического ма€тника называетс€ длина такого математического ма€тника, который имеет тот же период колебаний, что и данный физический ма€тник.

≈сли к оси физического ма€тника подвесить грузик на нити такой длины, чтобы она была равна приведенной длине данного физического ма€тника (рис. 3), то отклоненные на одинаковый угол физический ма€тник и грузик колеблютс€ вместе, так что грузик все врем€ находитс€ в одной и той же точке физического ма€тника Ц его центре качаний. ѕриведенна€ длина lо всегда больше lc, то

есть центр качаний всегда лежит ниже центра т€жести. ѕо теореме Ўтейнера момент инерции относительно оси ма€тника J=Jо +m lc², где Jо Ц момент инерции относительно оси, проход€щей через центр т€жести. ѕоэтому приведенна€ длина будет lо=(Jо+mlc²)\ mlc = lc+ Jо \mlc,т.е. больше lc.

“очка подвеса и центр качаний обратимы. “еорема √юйгенса: если физический ма€тник подвесить за центр качани€, его период не изменитс€ и прежн€€ точка подвеса будет новым центром качани€.

ќборотный ма€тник (рис. 4) состоит из стального стержн€, на котором закрепл€ютс€ опоры 1 и 2 в виде призм и грузы 3 и 4.

 

ћетод оборотного ма€тника основан на сопр€женности двух его точек: точки подвеса и центра качаний. ѕутем изменени€ рассто€ний между опорами или между грузами добиваютс€ такого расположени€ грузов на стержне, чтобы период колебаний ма€тника при его переворачивании не изменилс€. ѕри выполнении этого услови€ рассто€ние между опорами будет €вл€тьс€ приведенной длинной ма€тника l о =L+X.

“еоретически рассчитать положение центра масс физического ма€тника можно дл€ упрощенной модели ма€тника (рис. 5), состо€щей из невесомого стержн€ с закрепленными на нем материальными точками 3 и 4. ≈сли рассто€ние от груза 4 до опоры 1 обозначить L, то рассто€ние от центра масс (точка —) до опор выразитс€: lcl=(x+L)\2, lc2=l о -(x+L)\2=(2l о -x-L)\2 (21)

ћоменты инерции физического ма€тника относительно осей, проход€щих через точки 1 и 2 могут быть рассчитаны по формулам:

J1=l оml cl, J2=l оml c2 (22)

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-03-26; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 578 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—лабые люди всю жизнь стараютс€ быть не хуже других. —ильным во что бы то ни стало нужно стать лучше всех. © Ѕорис јкунин
==> читать все изречени€...

1417 - | 1382 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.013 с.