Пропорції і пропорційні залежності. Похідні пропорції

Визначення: Пропорцією називається рівність двох відношень. Члени відношення називаються членами пропорції. , – крайні, – середні.

Основна властивість пропорції.

Теорема: У будь-якій пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.

Доведення: Помножимо ліву і праву частини пропорції на одне і теж число . Матимемо: , .

Із основної властивості пропорції випливає правило відшукання за трьома відомими членами четвертого невідомого.

Визначення: Пропорція, отримана в результаті виконання дій над членами даної пропорції називається похідною пропорцією по відношенню до даної.

Теорема: Для пропорції справедливо:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Доведення: a) , , . б) - г) довести самостійно.

д) Якщо a) поділити на в), то отримаємо правильну тотожність д).

Визначення: Якщо відношення , , … рівні між собою, то кажуть, що мають ряд рівних відношень. Пишуть: = = … = . При цьому називаються попередніми, а – наступними.

Теорема: У кожному ряді рівних відношень сума усіх попередніх членів так відноситься до сумм усіх наступних, як будь-який із попередніх до свого наступного.

Доведення: Нехай = = … = = к. Тоді, оскільки = к, = к, … = = к, то , , …, , . .

Доведену властивість ряду рівних відношень можна узагальнити: Якщо будь-які числа, відмінні від нуля, то .

Доведення: Перепишемо ряд рівних відношень = = … = = = к. Як і у попередній теоремі матимемо: , , …, , , .

Визначення: Дві величини називаються прямо пропорційними, якщо при зміні однієї з них друге змінюється так, що відношення відповідних значень х, у цих величин залишається незмінним: у/х = к. Таким чином прямо пропорційні величини пов'язані рівністю у = кх, де к - число, нерівне нулю, яке називається коефіцієнтом пропорційності. Випадок, коли х = у = 0 не виключається.

Визначення: Дві величини називаються обернено пропорційними, якщо при зміні однієї із них друга змінюється так, що добуток відповідних значень у, х цих величин залишається незмінним. Такий чинам, обернено пропорційні величини пов'язані рівністю ху = к, де к — число нерівне нулю. Із рівності бачимо, що якщо х, у обернено пропорційні, то величини і у -прямо пропорційні.

Визначення: Поділити число а на частини, пропорційні числам означає знайти такі числа ,які б давали у сумі число а і знаходились би у прямо пропорційній залежності з числами , т. т. задовольняли умовам: , .

За властивістю ряда рівних відношень матимемо: . = . Аналогічно знаходимо -,...,

Правило: Щоб поділити яке-небудь число пропорційно даним числам, потрібно поділити його на суму цих чисел і отриману частку послідовно помножити на кожне з цих чисел.