Поиск экстремума симплекс -методом

ВВЕДЕНИЕ

 

Решение оптимизационной задачи в общем случае заключается в опреде- лении таких значений входных переменных исследуемого объекта, которым соответствует наилучшее (минимальное или максимальное) значение целевой функции. Технологические системы, как правило, являются многомерными, с большим количеством входных факторов, на значение которых к тому же на- кладываются дополнительные ограничения. Это требует использования мето- дов многомерной условной оптимизации. Многие из данных методов, однако, предполагают сведение задачи к безусловной оптимизации путем преобразова- ния целевой функции с дальнейшим применением соответствующих процедур. Поэтому изучение методов поиска экстремума функций нескольких перемен- ных без ограничений является не менее важной задачей.

В настоящих рекомендациях рассматривается постановка задачи много-

мерной безусловной оптимизации, аналитический анализ целевой функции,

теоретические основы часто используемых на практике численных методов - метода крутого восхождения, симплекс - метода и метода Хука и Дживса. Для наилучшего понимания сущности и особенностей этих методов, формирования навыков корректного задания входных параметров их работа иллюстрируется на примере функций двух переменных, когда возможна геометрическая интер- претация решения задачи.

В прил. 1 – 5 приводится пример выполнения практической работы, а так-

же варианты индивидуальных заданий.

 

 

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

 

Пусть задана функция n действительных переменных

n

f (x 1, x 2, x 3,..., xn) = f (x), определенная на множестве X ∈ R,

где x - вектор- столбец, обозначающий точку в n -мерном евклидовом простран-

стве с координатами x 1, x 2, x 3,..., xn.

Функция f (x) имеет локальный минимум в точке x *∈ X, если существует окрестность точки x * такая, что f (x *) ≤ f (x) во всех точках этой окрестности. В

n

случае глобального минимума в точке x * для всех x ∈ R

ство f (x *) ≤ f (x).

справедливо неравен-

Далее будем рассматривать задачу отыскания точек минимума функции

n

f (x), т.е. f (x) → min, x ∈ R. Для приведения же задачи максимизации к за-

даче минимизации достаточно изменить знак целевой функции.

 

Симплексные алгоритмы

 

Обычный симплекс- метод

 

Симплексом в пространстве n переменных называют выпуклый много- гранник, имеющий n +1 вершину. В пространстве двух переменных это тре- угольник, в пространстве трех переменных - тетраэдр. В обычном симплекс- методе используется правильный симплекс (все ребра которого равны).

Идея симплекс-метода, которая далее рассматривается на примере дву- мерного случая, заключается в следующем. Выбирается начальный симплекс с вершинами x (1)- x (2)- x (3). Размещение правильного симплекса в пространстве может быть осуществлено двумя путями (рис.1).

№ вершины   x 1   x 2   x(1)       x(2) 3 + 1 2 2 3 − 1 2 2   x(3) 3 − 1 2 2 3 + 1 2 2

1. Одна вершина симплекса помещается в начало координат, а остальные вершины располагаются так, чтобы ребра, выходящие из первой вершины, об- разовывали одинаковые углы с соответствующими координатными осями. То- гда для двумерного случая координаты вершин будут равны:

 

x 2

x (3)

 

x ц.т.

 

x (4)

 

 

x (2)

Q

x (1)

 

P x 1

 

Рис. 1

В общем случае координаты вершин симплекса определяются матрицей:

 

№ вершины x 1 x 2 x 3 … xn         …     P Q Q … Q   Q P Q … Q … … … … … … n +1 Q Q Q … P

P = 1 (

n +1 + n −1);

n 2

Q = 1 (

n +1 −1).

n 2

 

 

№ вершины   x 1   x 2   x(1) − 1 − 1 2 3   (2) x 1 − 1 2 3   x(3)

2. Центр симплекса помещается в начало координат, а (n +1)-я вершина на ось xn. Остальные вершины располагаются симметрично относительно коорди- натных осей. В двумерном случае координаты вершин будут равны:

x 2 x (3)

 

 

 

 

x (1)

 

 

R 1 V 1

 

Рис. 2

x 1

x (2)

 

В общем случае координаты вершин симплекса определяются матрицей:

 

 

 

№ вершины x 1 x 2 x 3 … xn   - R - R - R … - R   V 1 - R 2 - R 3 … - Rn     V2 -R 3 … - Rn       V 3   - Rn … … … … … … n +1       … Vn

1 2 3

 

n Ri

= 1;

2 ⋅ i (i +1)

 

Vi =

 

i.

2(i +1)

 

В первом и во втором случаях формулы получены для симплекса, длина ребра которого равна единице. Для произвольной длины каждую формулу нужно умножить на длину ребра. Если поиск осуществляется не из начала координат, а из начальной точки x (0), то к координатам вершин симплекса необходимо добавить координаты начальной точки- x 1(0) и x 2(0).

В вершинах исходного симплекса рассчитывается значение целевой функции f (x (1)), f (x (2)), f (x (3)). Из этих трех значений выбирается "наихудшая" точка (при поиске минимума это та точка, в которой функция принимает мак- симальное значение). Допустим, что это точка x (1). Через центр тяжести проти- волежащей грани x ц.т.=(x (2) + x (3))/2 строится новая вершина симплекса x (4), сим- метричная "наихудшей" вершине x (1) (рис.1). Координаты новой вершины x (4) рассчитываются по формуле:

 

x (4)= x ц.т.+ (x ц.т.- x (1))= x (2) + x (3) - x (1)

В результате получается новый симплекс x (2) - x (3) - x (4), причем значение целевой функции в двух точках x (2) и x (3) уже известно. Поэтому вычисляется

значение функции в точке x (4) и среди всех вершин ищется вершина с "наихуд- шим" значением. Эта вершина вновь отображается через середину противоле- жащей грани и вся процедура повторяется. Признаком окончания поиска явля-

ется так называемая процедура зацикливания, когда вновь отображенная вер- шина оказывается "наихудшей". В этом случае, если заданная точность не дос- тигается, (точность определяется длиной ребра симплекса) необходимо умень- шить размеры симплекса. Процедура повторяется до тех пор, пока длина ребра

симплекса не станет меньше заданной точности.

В общем n – мерном случае, если обозначить отображаемую вершину симплекса за x (1), остальные вершины - x (2), x (3), x (n +1), отображенную вершину за x (n +2), координаты центра тяжести грани, относительно которой производится отображение, определяются по формуле:

n +1

 

x ц.т.

= 1 ∑ x (i), а отображаемой вершины

n i =2

x (n +2) = x

 

ц.т.

+α(x

 

ц.т.

− x (1)). (4.1)

Здесь множитель α > 0. При α =1 получаем зеркальное отображение x (1) и если

исходный симплекс был правильным, то при зеркальном отображении и новый

симплекс окажется правильным.

Поиск экстремума симплекс -методом

 

Начальную точку с координатами x (0) = (5; 6) берем за центр тяжести тре- угольника. Вокруг начальной точки строим треугольник -симплекс. Координа- ты вершин исходного симплекса рассчитываются по формулам:

x (1) = (x (0)

x (2) = (x (0)

x (3) = (x (0)

- a /2; x (0)

+ a /2; x (0)

; x (0)

- 0,29· a);

- 0,29· a);

+0,58· a), где a - длина ребра симплекса,

которую выбираем произвольно. Пусть a =2, тогда координаты вершин исходного симплекса и соответствующее им значение целевой функции будут

равны:

№ точки	x 1	x 2	y
x(1) x(2) x(3)		5,42 5,42 7,16	108,27 149,95 185,81

Из трех значений функции выбирается "наихудшая" точка: при поиске

минимума эта та точка, в которой функция принимает максимальное значение.

В нашем случае это точка с координатами x (3) = (5; 7,16).

Через центр противолежащей грани строится новая вершина симплекса,

симметричная "наихудшей" вершине.

Координаты новой вершины рассчитываем по формулам:

x

(4)

= x (1)

+ x (2)

- x (3)

; x (4)

= x (1)

+ x (2)

- x (3).

В результате получился новый симплекс с вершинами:

№ точки	x 1	x 2	y
x(1) x(2) x(4)		5,42 5,42 3,68	108,27 149,95 82,52

 

Теперь " наихудшей" точкой будет вершина симплекса с координатами

x (2) = (6; 5,42). Дальнейшие расчеты приведены в таблице.

№ точки	x1	x2	y
x(1) x(5) x(4) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11)		5,42 3,68 3,68 1,94 1,94 0,2 0,2 -1,54 -1,54	108,27 51,8 82,52 36,16 16,41 10,88 2,08 6,66 8,82

 

№ точки x 1 x 2 y x(9) x(10) x(11)   0,2 -1,54 -1,54 2,08 6,66 8,82

Координаты последнего симплекса приведены в таблице:

Таким образом, вершина x (8) отображенная в x (11) вновь оказалась "наихудшей". Этот случай называется процедурой

 

"зацикливания". Проверяем условие окончания алгоритма, сравнивая длину

 

ребра симплекса с заданной точностью

(5 −1)2 + (−3,28−3,68)2 = 2

> 0,2.

Для продолжения поиска необходимо произвести редукцию последнего симплекса.

№ точки x 1 x 2 y x(9) x(12) x(13) 1,5 0,5 0,2 -0,67 -0,67 2,08 3,48 2,82

Выбирается вершина, в которой функция принимает минимальное значе- ние x (9) = (1; 0,2). Две другие вершины будут расположены на серединах приле- жащих к ней граней.

Таким образом, получился новый симплекс с длиной ребра, равной 1, и координатами

вершин:

 

№ точки x 1 x 2 y x(22) x(23) x(24) x(25) x(26) x(27) -0,50 -0,375 -0,625 -0,75 -0,875 -0,75 0,635 0,8525 0,8525 0,635 0,8525 1,07 0,15 0,25 0,074 0,146 0,022 0.1073 зацикливание, уменьшаем ребро до 0,125 x(26) x(28) x(29) x(30) x(31) -0,875 -0,75 -0,8125 -0,9375 -1 0,8525 0,8525 0,9612 0,9612 0,8525 0,022 0,032 0,024 0,0021 0,0435

Дальнейшие расчеты приведены в таблице:

№ точки	x 1	x 2	y
x(14) x(15)	0,5	0,2 1,07	0,68 2,46
зацикливание, уменьшаем ребро до 0,5
x(14) x(16) x(17) x(18) x(19)	0,5 0,25 -0,25 -0,5	0,2 0,2 0,635 0,635 0,2	0,68 1,13 0,92 0,28 0,73
зацикливание, уменьшаем ребро до 0,25
x(18) x(20) x(21)	-0,25 -0,375 -0,125	0,635 0,4175 0,4175	0,28 0,34 0,42

 

Поскольку в послед- ней точке произошло за- цикливание, а длина ребра

симплекса 0,125 < ε=0,2,

условие окончания алго-

ритма выполняется.

Таким образом, за точку минимума принима-

ем вершину симплекса, со- ответствующую минимуму целевой функции после его

зацикливания, т.е.

x *≈ x (30) = (-0,9375; 0,9612).

Траектория поиска

показана на рис.6.

 

 

 

 

 

 

 

5

 

Задача 1

 

 

Задача №2

Вариант№1