Если известны вероятности трех различных событий (А, В, и «А и В»), можно найти вероятность «А или В». Эта вероятность находится сложением двух вероятностей базовых событий с последующим вычитанием вероятности их пересечения. Вычитание исключает те результаты, которые при сложении учитываются два раза, как показано на рис.6.4.6.
Р(А или В) = Р(А) + Р(В) – Р(А и В)
Представим себе, что предыдущий опыт работы ремонтной мастерской свидетельствует о том, что вероятность того, что в неисправном приборе перегорел предохранитель, составляет 6% (Р(А)), а вероятность обрыва провода составляет 4% (Р(В)).
Предположим также, что в 1% (Р(А и В)) случаев всех обращений приборы поступали в ремонт с перегоревшим предохранителем и обрывом провода. Обладая этими сведениями, можно легко найти вероятность тот, что в конкретном сданном в ремонт приборе присутствует одна из этих неисправностей (или обе).
Вероятность того, что “ перегорел предохранитель или есть обрыв провода”
равна 0,06 + 0,04 - 0,01 = 0,09.
Таким образом, в случае 9% обращений в мастерскую прибор имеет одну из этих неисправностей (или обе сразу).
Путем алгебраических преобразований можно также найти выражение для вычисления вероятности “А и В” через вероятности А, В, и “А или В”:
Р(А и В) = Р(А) + Р(В) – Р(А или В)
Таким образом, зная любые три из этих четырех вероятностей (вероятностей событий А, В, “А и В” и “А или В”), можно найти четвертую, неизвестную вероятность.
В каких случаях оказываются полезными эти формулы? Один из случаев их применения состоит в том, чтобы взять в качестве исходной известные сведения о вероятностях и вычислить по соответствующей формуле вероятность другого события, возможно, представляющего больший интерес или имеющего большую важность. Другой случай — если мы хотим убедиться, что информация, на которой основываются решения, логически непротиворечива. Предположим, например, что у нас есть вероятности для событий А и В, вычисленных как относительные частоты на основе данных прошлых наблюдений. Планируется использовать субъективную оценку вероятности событий “А и В” и “А или В”. При этом может оказаться полезным убедиться в том, что связь между четырьмя рассматриваемыми величинами вероятности не противоречит приведенным выше формулам.
9. Одно событие при условии другого: учет имеющейся информации
Рассматривая задачу определения вероятности наступления события с учетом того, что некоторое другое событие уже произошло, мы приходим к понятию условной вероятности первого события при условии наступления второго события. (Все простые вероятности, о которых шла речь до сих пор, можно назвать безусловными вероятностями — это позволит избежать излишней путаницы.) Приведем несколько примеров условных вероятностей.
1. Предположим, ваша местная команда может выиграть важную игру с вероятностью 70%. Теперь введем в рассмотрение новую информацию, соответствующую событию “после окончания первого тайма команда выигрывает”. В зависимости от того, реализуется ли это событие, вероятность победы изменяется. Вероятность победы команды при условии, что она действительно выигрывает после первого тайма, окажется выше и будет равна, например, 85%. Эта вероятность 85% представляет собой вероятность события “команда одержала победу” при условии наступления события “команда выигрывает после первого тайма”. Вероятность выигрыша при условии, что команда проигрывает после первого тайма, будет меньше, чем общая вероятность победы, составляющая 70%. Пусть, например, эта вероятность оценивается в 35%. Данная величина представляет собой вероятность события “команда одержала победу при условии наступления события “команда проигрывает после первого тайма”.
2. На успех нового коммерческого проекта влияет много факторов. Для того чтобы описать их действие, можно рассмотреть влияние на условную вероятность успеха различных факторов, таких как благоприятные или неблагоприятные экономические условия и действия конкурентов. Экономический рост будет повышать шансы на успех; это означает, что вероятность успеха при условии экономического роста будет больше, чем общая (безусловная) вероятность успеха.
10. Правило вычисления условной вероятности при наличии дополнительной информации
Для нахождения условной вероятности события “успех” при условии наступления события “экономический рост” необходимо вычислить, какая часть сценариев события “экономический рост” будет соответствовать окончательному результату “успех”. Эта величина равна результату деления вероятности, события “успех и экономический рост” на вероятность события “экономический рост”.
Описанное выше соответствует общему правилу вычисления условных вероятностей. Вероятность (условная) события А при условии события В (т.е. при условии, что событие В наступило), вычисляется следующим образом.
Вероятность А при условии В = Р(А и В)/Р(В)
Следует различать вероятность А при условии В (которая описывает вероятность события А, вычисленную с учетом того, что имеет место событие В) и вероятность В при условии А (которая описывает существенно иную ситуацию — вероятность наступления события В, вычисленную с учетом того, что имеет место событие А). Для полноты картины приведем здесь и формулу для вычисления вероятности события В при условии события А.
Вероятность В при условии А= Р(А и В)/Р(А)
Поскольку здесь присутствует деление на вероятность В, приведенная формула не работает в случае, если вероятность события В равна 0. В таком частном случае условная вероятность не будет определена. На практике это не создает проблем, поскольку событие, вероятность которого равна 0 (практически), никогда не наблюдается; таким образом, то, что происходит “при условии” наблюдения события В, просто не имеет значения.
Например, если вероятность того, что в неисправном приборе перегорел предохранитель, составляет 6%, вероятность обрыва провода равна 4%, а вероятность наличия обеих этих неисправностей оказывается равной 1%, можно рассчитать условную вероятность поломки провода при условии того, что в приборе перегорел предохранитель:
Условная вероятность поломки провода при перегоревшем предохранителе =
= (Вероятность "поломка провода и перегорел предохранитель") /
Вероятность перегорания предохранителя = 0,01/0,06= 0,167.
В этом случае перегорание предохранителя означает повышение вероятности того, что в неисправном приборе присутствует также и обрыв провода.
Такая условная вероятность свидетельствует о том, что из всех приборов, в которых сгорел предохранитель, 16,7% обычно имеют еще и обрыв провода. Обратите внимание на то, насколько эта условная вероятность больше, чем безусловная вероятность обрыва провода (4%). Это связано с тем, что при рассмотрении приборов со сгоревшим предохранителем больше не идет речь обо "всех приборах”; теперь интерес представляют только очень немногие из них, а именно 6% всех приборов. Вероятность “обрыва провода” при этом возрастает с 4 до 16,7%, что и отражает учет этой дополнительной информации.
На рис. 6.4.7. показана диаграмма Венна для рассматриваемого случая. Обратите внимание на то, что безусловные вероятности внутри каждого из кругов представлены корректными исходными значениями (0,06 для сгоревшего предохранителя и 0,04 для поломки провода). Поскольку известно, что в приборе перегорел предохранитель, то при рассмотрении условной вероятности именно соответствующий этому событию круг становится новым выборочным пространством (ввиду того, что других возможных результатов нет). В этом новом выборочном пространстве все существовавшие ранее вероятности необходимо делить на 0,06 (безусловная вероятность того, что сгорел предохранитель), поскольку теперь результаты этого события на 100% представляют новую ситуацию.
(На приведенном рисунке – опечатки 0,06 а не 0,05; 0,04 а не 0,03!!!!!).
11. Условные вероятности для несовместимых событий
Поскольку два несовместимых события не могут наблюдаться вместе, из информации о том, что одно из них произошло, следует, что второе не произошло. Это означает, что условная вероятность первого события при условии наступления второго равна нулю, (конечно, если вероятность второго события не равна нулю).
Р (А при условии В) = 0, при Р(В) не равно 0
12. Независимые события
Два события называются независимыми, если информация об одном из них не изменяет существовавшую до получения этой информации вероятность другого события. Если информация о некотором событии изменяет оценку вероятности другого события, такие события называются зависимыми. Например, события “быть курильщиком” и “заболеть раком” оказываются зависимыми, поскольку известно, что курильщики чаще заболевают раком, чем некурящие. С другой стороны, события “содержащиеся в вашем портфеле инвестиций ценные бумаги завтра вырастут в цене” и “завтра утром вы проспите” являются независимыми, поскольку тот факт, что вы проспите, никак не повлияет на цены фондового рынка.
Формально независимость событий можно описать таким образом: события А и В являются независимыми, если вероятность А равна условной вероятности А при условии В.
События А и В независимы, если
Вероятность А = Вероятность А при условии В.
События А и В зависимы, если
Вероятность А не равна Вероятность А при условии В
Существует несколько способов определения того, являются ли два события независимыми. При этом, как правило, необходимо применять соответствующие формулы; “чисто умозрительные” рассуждения на тему о том, должныли события быть независимыми или зависимыми, можно использовать только в качестве последнего средства в случае, когда информации для использования формул оказывается недостаточно. Ниже приведены три формулы. Использовать следует формулу, самую подходящую для конкретной имеющейся информации, поскольку все три формулы должны (в соответствии с алгебраическими правилами) всегда давать одинаковые результаты.
События А и В независимы, если выполняется одно из следующих соотношений:
1. Вероятность А = Вероятность А при условии В
2. Вероятность В = Вероятность В при условии А
3. Вероятность А и В = Вероятность А * Вероятность В
Третья формула позволяет найти вероятность “А и В” для случая двух событий, о которых известно, что они независимы. Однако в случае зависимых событий эта формула дает неверный результат.
Следует, однако, учитывать одну техническую сложность. Если вероятность одного из событий равна 0, рассчитать условную вероятность второго события невозможно. Если одно (или оба) события имеют нулевую вероятность, мы будем (автоматически) считать их независимыми.
Пример. Женщины на руководящих должностях
В корпорациях Сиэтла, насчитывающих 500 и более сотрудников, работает 468 руководителей. Из них 30 руководителей — женщины. Если воспользоваться подходом к определению вероятности на основе относительной частоты, можно сказать, что условная вероятность того, что женщина работает на руководящей должности, составляет 30/468 = 0,064 (т.е. 6,4% женщин занимают руководящие должности). В целом среди всего населения женщины встречаются с вероятностью (безусловной) 51,2%. Поскольку вероятность того, что конкретный человек принадлежит к числу женщин, изменяется при учете дополнительной информации о "работе на руководящей должности" от 51,2% до всего лишь 6,4%, данные события не являются независимыми. Это означает, что события "быть женщиной" и "занимать руководящую должность" оказываются зависимыми. Обратите внимание на то, что полученный вывод следует из приведенных выше правил (описанных соответствующими уравнениями) и чисел, а непросто из общих рассуждений по исследуемому вопросу.
Тот факт, что данные события зависимы, отражает исторические тенденции неравноправия полов для данной местности и данного времени. Мужчинам в большей степени свойственно быть руководителями, чем женщинам (вероятности стать руководителем для мужчин и женщин различаются), а руководители чаще оказываются мужчинами, чем жители этой страны в целом (вероятности быть мужчиной для руководителя и для жителя страны различаются).
Такое исследование вероятности показывает, что неравенство полов существует, однако при этом не проясняет его причины. Если посмотреть на выраженные в процентах количественные результаты, ясно видно, что здесь есть зависимость, указывающая на существование неравенства полов. Такие различия могут быть связаны с дискриминацией при приеме на работу, с ограничениями на квалификацию для кандидатов на соответствующую должность или объясняться некоторыми другими причинами. Анализ вероятностей сам по себе не указывает на то, какое из объяснений является действительно верным.
Пример. Рыночная эффективность
О финансовых рынках говорят, что они эффективны, если текущие цены отражают всю имеющуюся в наличии информацию. В соответствии с теорией рыночной эффективности невозможно получить дополнительную прибыль на основе анализа ценовой информации за предыдущий период, поскольку эта информация уже отражена в существующих ценах. Другой вывод состоит в том, что цены должны изменяться случайным образом, поскольку любые систематические изменения рынок учитывает.
Один из способов проверки эффективности рынка состоит в том, чтобы проследить существование связи между изменениями цен вчера и сегодня. Если два события "цена росла вчера" и "цена растет сегодня" независимы, это будет подтверждением эффективности рынка. В таком случае знание вчерашних ценовых тенденций не помогает в предсказании тенденций, существующих на рынке сегодня.
В то же время, если эти события зависимы, то рынок неэффективен. Так, например, если рынок обладает определенной "инерцией" и проявляет тенденцию к продолжению роста или снижению цен, сведения о вчерашнем повышении на рынке делают более правдоподобным сегодняшний рост цен. Однако подобное утверждение несовместимо с теорией рыночной эффективности. В соответствии с теорией рынок учтет заранее такой дальнейший рост и различия между безусловной и условной вероятностями наблюдаться не будут.
13. Правило пересечения (и) для независимых событий
Как уже упоминалось ранее, для независимых событий (и только для независимых событий) вероятность события “А и В” можно найти простым умножением вероятностей двух рассматриваемых событий.
Вероятность А и В = Вероятность А * Вероятность В
Пример. Оценка риска для большой электростанции
Поскольку на крупных электростанциях возможно возникновение аварий, они представляют для окружающей среды и населения определенную потенциальную опасность. Несмотря на то, что такая потенциальная опасность очень мала, средства массовой информации время от времени напоминают нам о том, что аварии все-таки происходят. Предположим, что вероятность перегрева на некоторой электростанции составляет 0,001 (единица к тысяче) для одного дня, а вероятность отказа резервной системы охлаждения равна 0,000001 (единица на миллион). Если предположить, что эти события независимы, вероятность "крупной аварии" (т е. наступления события "перегрев и отказ резервной системы охлаждения") составит 0,001 * 0,000001 = 0,000000001 (единица на миллиард), что часто считается приемлемо малой вероятностью. Однако предположение о том, что эти события независимы, может оказаться и не соответствующим истине. Может казаться, что непосредственной связи между отказом одной системы (что приводит к перегреву) и отказом другой (в результате чего система лишается резервного охлаждения) нет. Однако независимость не определяется субъективными оценками. Для того, чтобы сделать вывод о независимости событий, необходимо исследовать сами вероятности. При этом вполне может оказаться, что рассматриваемые события — зависимые; так, например, может произойти природная катастрофа (наводнение или землетрясение), приводящая к выходу из строя обеих систем. Если рассматриваемые события не независимы, оценка «единица на миллиард» вероятности возникновения крупной аварии будет неверной и реальная вероятность будет намного больше.
14. Связь между независимыми и несовместимыми событиями
Необходимо четко различать независимые и несовместимые события. Два независимых события не могут быть несовместимыми (за исключением случая, когда одно из них имеет нулевую вероятность). В свою очередь, два несовместимых события не могут оказаться независимыми (опять же, за исключением случая, когда вероятность одного из них равна нулю). Если вероятность одного из событий (или обоих событий) равна нулю, события являются и независимыми, и несовместимыми.
