Лекция 3. Системы счисления

План:

3.1. Понятие системы счисления. Виды систем счисления.

3.2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

3.3 Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Понятие системы счисления. Виды систем счисления

Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам, с помощью символов некоторого алфавита называемых цифрами.

Системы счисления бывают позиционными и непозиционными.

В позиционной системе счисления величина, которую обозначает цифра в записи числа. Зависит от позиции цифры в этом числе.

Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой количественный эквивалент каждого символа, не зависит от его положения (места, позиции) в записи числа.

Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления.

Основание системы счисления это размер алфавита (количество цифр). Число в позиционной системе счисления можно представить в виде суммы произведений составляющих его цифр на соответствующие степени основания системы.

Любая позиционная система вводится следующим образом. Выбирается основание p – целое число и алфавит из p цифр: 0,1,2,…,p-1.

Тогда любое число X в этой системе представляется в виде суммы произведений:

X_p= a_n*pⁿ+a_n-1*^pn-1+…+a₁*p¹+a₀*p⁰+a_-1*p^-1+…+a_-k*p^-k

 

Перевод чисел из одной позиционной системы в другую

При переводе чисел из p-ичной системы в десятичную число надо представить в виде суммы произведений представляющих его цифр на соответствующие степени основания системы p

При переводе чисел из десятичной системы в р-ичную надо разложить десятичное число на слагаемые, содержащие степени числа р.

Перевод целого десятичного числа производится путем последовательного деления числа на основание р с выделением остатков от деления до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Выписывая остатки от деления, справа налево, получаем р-ичную запись десятичного числа. Перевод правильной десятичной дроби производится путем последовательного умножения на основание системы с выделением целой части произведений до тех пор, пока в дробной части не получится 0 или не выделится период. Выписывая целые части слева направо. Получим р-ичную запись дроби. Если число смешанное, то обе операции выполняются отдельно и затем оба результата записываются вместе через запятую.

Двоичная арифметика

Арифметические операции в позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам согласно таблицам сложения и умножения.

Для всех систем счисления справедливы одни и те же законы и правила: сложения, умножения, вычитания и деления столбиком.

Сложение

В Р-ичной системе счисления таблица сложения представляет собой результаты сложения каждой цифры алфавита Р-ичной системы с любой другой цифрой этой же системы.

Вычитание

Вычитание из большего числа меньшего в Р-ичной системе счисления можно производить столбиком аналогично вычитанию в десятичной системе. Для выполнения этой операции также используется таблица сложения в Р-ичной системе счисления.

Если нам необходимо вычесть из цифры a цифру b и a>=b, то в столбце «b» таблицы сложения ищем число а. Самая левая цифра в строке, в которой расположено число a, и будет результатом вычитания.

Если a < b, то, занимая единицу из левого разряда, выполняем следующие действия: 10_P + a _P – b = 1a – b. Для этого в столбце «b» таблицы сложения мы ищем число 1а_P, левая цифра в соответствующей строке является результатом вычитания.

Умножение

Для выполнения умножения двух многозначных чисел в Р-ичной системе счисления надо иметь таблицы умножения и сложения в этой системе.

Действия производятся по правилам умножения столбиком (последовательное умножение цифр второго сомножителя на первый сомножитель и сложение промежуточных результатов), при этом используются соответствующие таблицы

При умножении Р-ичных дробей количество цифр в дробной части результата равно сумме количеств цифр в дробных частях множителей (если одна или более крайних справа цифр результата окажутся равными нулю, то их можно опустить как незначащие).

Деление

При делении столбиком в Р-ичной системе счисления приходится в качестве промежуточных вычислений выполнять действия умножения и вычитания, следовательно, используя таблицы умножения и сложения.