Основные методы интегрирования

1. Способ подстановки (замены переменных).

 

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

 

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

 

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

 

Пример.

Замена Получаем:

 

 

Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

 

 

2. Интегрирование по частям.

 

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)¢ = u¢v + v¢u

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

 

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

 

Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

 

Пример.

 

 

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

 

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

 

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

 

Пример.

 

Пример.

 

 

Пример.

 

Пример.

 

 

 

Пример.

 

 

Пример.

 

 

Пример.

Пример.

Пример.

 

Пример.

 

 

3. Интегрирование элементарных дробей.

Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

 

I. III.

 

II. IV.

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b² – 4ac <0.

 

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

 

I.

 

II.

 

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

 

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

 

Пример.

 

Вообще говоря, если у трехчлена ax² + bx + c выражение b² – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

 

Пример.

 

 

Пример.

 

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

 

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование:

.

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:

 

 

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл .

 

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

 

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u² + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

 

Пример:

 

 

 

4. Интегрирование рациональных функций.

 

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

 

Теорема: Если - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)^a…(x - b)^b(x² + px + q)^l…(x² + rx + s)^m ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

 

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

 

 

Пример.

Т.к. (, то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

 

 

 

 

 

Итого:

 

 

Пример.

 

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль.

Таким образом:

3x³ – 4x² – 17x + 6 = (x – 3)(3x² + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1).

Тогда:

 

 

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

Окончательно получаем:

 

=

 

 

Пример.

Найдем неопределенные коэффициенты:

 

 

 

 

 

Тогда значение заданного интеграла: