Глава 5. Технология программирования циклических процессов. арифметические циклы

Циклический– процесс многократного повторения некоторого участка вычислений при изменении хотя бы одной из входящих в него величин.

Математически циклический процесс выражается зависимостью

y _i = f(x _i),

т.е. предписывает многократное вычисление функции y_i в соответствии с изменением аргумента x_i. С точки зрения цикла аргумент x_i является входной, а функция y_i выходной величинами (данными).

Сформулируем основные определения.

Цикл – повторяющийся участок вычисления.

Тело цикла – совокупность действий, осуществляемых в цикле.

Параметр цикла – входная величина, изменяющая своё значение от цикла к циклу.

Закон изменения параметра цикла – зависимость, связывающая текущее и предыдущее значения параметра цикла.

Условие повторения цикла – зависимость, предписывающая повторение цикла либо выход из него.

Все циклические процессы по способу определения количества повторений (N) разделяются на два класса (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Классификация циклов по количеству повторений

Арифметический – циклический процесс, число повторений в котором может быть определено заранее, т.е. не зависит от результатов счёта в теле цикла.

Итерационный – циклический процесс, число повторений в котором зависит от результатов вычислений в теле цикла и не может быть определено заранее.

К арифметическим циклам, как правило, относятся вычисления вида y_i = f(x _i), к итерационным – y_i = f(y_{i - 1}).

Независимо от того, к какому классу относится вычислительный процесс, каждый из них содержит обязательные элементы:

· вход в цикл (формирование начального значения параметра цикла);

· вычисления в теле цикла (расчёт текущего значения функции, формирование нового значения параметра цикла и вспомогательные операции);

· выход из цикла (проверка условия, определяющего повторение вычислений либо их прекращение).

По своему содержанию эти элементы зависят от класса и особенностей цикла, в котором используются.

Рассмотрим варианты организации циклических процессов арифметического типа.

Арифметические циклы характеризуются следующей постановкой задачи:

рассчитать текущие значения функции y_i = f (x_i) при изменении аргумента (параметра цикла) в заданном диапазоне x_н x_i x_к (1 i N) по известному закону x _i = j (x _{i - 1}), (i_j = j (i_{j – 1})).

При этом количество повторений цикла (N) может быть определено (задано) до начала вычислений.

В соответствии с видом задания (изменения) параметра цикла арифметические циклы классифицируются схемой (рис. 5.2):

Рис. 5.2. Классификация арифметических циклов

Табуляция функции – многократное вычисление значений функции при изменяющихся значениях аргумента.

Результаты табуляции представляются в виде табл. 5.1.

Таблица 5.1

Аргумент	Функция
xн	yн
...	...
xi	yi
...	...
xn	yn

Рассмотрим методику программирования арифметических циклов при различных видах изменения аргумента.

Арифметические циклы с аналитическим заданием аргумента

К классу циклических процессов с аналитическим заданием (изменением) аргумента относятся вычислительные процессы вида

y_i = f(x_i),

в которых аргумент изменяется по заданному закону.

Аналитический– закон изменения параметра цикла вида

x _i = j (x _{i - 1}).

Как правило, в качестве такого закона используют простейшую зависимость:

x _i = x _{i - 1} + Dx.

При этом диапазон изменения параметра x_i задаётся начальным (x_н) и конечным (x_к) значениями. Математическая формулировка условия нахождения x_i в диапазоне счёта зависит от конкретных численных значений x_н, x_к и Dx.

При x_н<x_к и положительных Dx оно запишется как x_н x_i x_к.

При x_н>x_к и отрицательном Dx получим x_н x_i x_к.

Варианты изменения параметра цикла x_i при увеличивающихся значениях искомых y_i представлены на рис. 5.3. Стрелки под осями абсцисс определяют направление изменения параметра цикла.

Y Y

x_н x_i x_к x_н x_i x_к

y_к y_к

Dx положительно Dx отрицательно

 

y_i y_i

 

y_н y_н

Dx Dx

x_н x_i x_к X x_к x_i x_н X

Рис. 5.3 Варианты изменения параметра цикла

Сформулированные двойные неравенства позволяют выделить из них конкретные элементы цикла:

· начальное значение параметра x_i=x_н (левая часть неравенства);

· условие повторения цикла (правая часть неравенств) x_i x_к при положительном Dx (x_i x_к при отрицательном Dx), невыполнение которого приводит к выходу из цикла.

Дополнив полученные элементы входа в цикл и выхода из него конкретной основной зависимостью y_i = f (x_i) и стандартным законом x_i = x_i-1 + Dx, получим все необходимые компоненты арифметического цикла с аналитическим изменением параметра.

Принадлежность цикла к классу арифметических подтверждается тем, что количество повторений в нём может быть определено заранее по формуле N = ] (x_к - x_н ) / Dx [ + 1. Обратные квадратные скобки предписывают от полученного частного учитывать только целую часть.

Рассмотрим программирование задач этого класса на конкретной задаче (5.1) о подоходных налогах.

Постановка задачи

Рассчитать величину подоходного налога на работников предприятия, если известно, что зарплата может изменяться в диапазоне от 2842 до 5500 р. с шагом изменения 300 р., а налог составляет 13 % от зарплаты.