Интегрирование иррациональных функций

I. Интегралы вида:

где a,b,c,d – действительные числа, р₁,…, р_k, q₁,…q_k – целые числа,

n₁,…, n_k, m₁,…m_k – натуральные числа.

Для их решения следует применять подстановки:

1) где s – наименьшее общее кратное чисел n₁,…, n_k

2) где s – наименьшее общее кратное чисел m₁,..., m_k

Для решения примеров также необходимо вспомнить:

1) формулы сокращенного умножения;

2) свойства степеней.

Пример 1.

Пример 2.

II. Интегралы вида

где а, b – действительные числа, m, n, p – рациональные числа.

Выражение называется дифференциальным биномом, его интегрирование возможно только в трех случаях.

1) р – целое число,

тогда используем постановку , где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n.

2) - целое число,

тогда где k - знаменатель дроби p.

3) - целое число,

тогда (или ), где k - знаменатель дроби p.

Во всех остальных случаях интегралы от дифференциального бинома являются «неберущимися».

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Подстановки Эйлера

Интеграл вида можно свести к интегралу от рациональной функции с помощью подстановок Эйлера.

1) Если , то используем 1 подстановку Эйлера

возведя оби части равенства в квадрат, можно найти и .

2) Если , то используем 2 подстановку Эйлера

преобразования аналогичны.

3) Если квадратный трехчлен имеет два действительных корня и , то применяем 3 подстановку Эйлера причем неважно какой корень взять.

Замечание 1.

При использовании 1 и 2 подстановок Эйлера знак «+» или «-» выбирается, исходя из условия так, чтобы полученная рациональная функция максимально упростилась.

Замечание 2.

Прежде чем применить подстановки Эйлера, нужно внимательно посмотреть на интеграл.

Если он имеет вид , то рациональнее решить с помощью выделения полного квадрата (см. стр. 15).

Если он имеет вид или , то лучше применить подстановку (см. стр. 9)

Замечание 3.

На самом деле достаточно использовать только 1 и 3 подстановки Эйлера.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Приложения:

1. Формулы сокращенного умножения.

2. Свойства степеней.

3. Свойства логарифмов.

4. Тригонометрические формулы.

5. Таблица производных.

6. Правила дифференцирования.

7. Таблица дифференциалов.

Формулы сокращенного умножения

Свойства степеней

где p, q – рациональные числа, m – целое число, n – натуральное число

Свойства логарифмов

где

Тригонометрические формулы

Таблица производных

Правила дифференцирования

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Таблица дифференциалов