Интегрирование некоторых дробей.Методы и приёмы решения
На данном уроке мы научимся находить интегралы от некоторых видов дробей. Для успешного усвоения материала Вам должны быть хорошо понятны выкладки статей Неопределенный интеграл. Примеры решений и Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Как я уже отмечал, в интегральном исчислении нет удобной формулы для интегрирования дроби 
. И поэтому наблюдается грустная тенденция: чем «навороченнее» дробь, тем труднее найти от нее интеграл. В этой связи приходится прибегать к различным хитростям, о которых я сейчас и расскажу.
Метод разложение числителя
Пример 1
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы избавлялись от произведения функций в подынтегральном выражении, превращая её в сумму, удобную для интегрирования. Оказывается, что иногда в сумму (разность) можно превратить и дробь!
Анализируя подынтегральную функцию, мы замечаем, что и в числителе и в знаменателе у нас находятся многочлены первой степени: 
и 
.
Когда в числителе и знаменателе находятся многочлены одинаковой степени, то помогает следующий искусственный приём: в числителе мы должны самостоятельно организовать такое же выражение, что и в знаменателе:
Рассуждение может быть следующим: «В числителе мне надо организовать , но если я прибавлю к «иксу» тройку, то, для того, чтобы выражение не изменилось – я обязан эту же тройку и вычесть».
Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:
В результате мы добились, чего и хотели. Используем первые два правила интегрирования:
Готово. Проверку при желании выполните самостоятельно.
Обратите внимание, что 
во втором интеграле – это «халявная» сложная функция, об особенностях ее интегрирования я рассказал на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Кстати, рассмотренный интеграл можно решить и методом замены переменной, обозначая 
, но запись решения получится значительно длиннее
Пример 2
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения. Следует заметить, что здесь метод замены переменной уже не пройдёт.
Внимание, важно! Примеры №№1,2 являются типовыми и встречаются часто. В том числе, подобные интегралы нередко возникают в ходе решения других интегралов, в частности, при интегрировании иррациональных функций (корней).
Рассмотренный приём работает и в случае, если старшая степень числителя, больше старшей степени знаменателя.
Пример 3
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Начинаем подбирать числитель.
Алгоритм подбора числителя примерно такой:
1) В числителе мне нужно организовать 
, но там 
. Что делать? Заключаю в скобки и умножаю на : 
.
2) Теперь пробую раскрыть эти скобки, что получится? 
. Хмм… уже лучше, но никакой двойки при изначально в числителе нет. Что делать? Нужно домножить на 
:
3) Снова раскрываю скобки: 
. А вот и первый успех! Нужный получился! Но проблема в том, что появилось лишнее слагаемое 
. Что делать? Чтобы выражение не изменилось, я обязан прибавить к своей конструкции это же 
:
. Жить стало легче. А нельзя ли еще раз в числителе организовать 
?
4) Можно. Пробуем: 
. Раскрываем скобки второго слагаемого:
. Простите, но у меня вообще-то было на предыдущем шаге 
, а не 
. Что делать? Нужно домножить второе слагаемое на :
5) Снова для проверки раскрываю скобки во втором слагаемом:
. Вот теперь нормально: получено 
из окончательной конструкции пункта 3! Но опять есть маленькое «но», появилось лишнее слагаемое 
, значит, я обязан прибавить к своему выражению 
:
Если всё выполнено правильно, то при раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверяем:
Гуд.
Таким образом:
Готово. В последнем слагаемом я применил метод подведения функции под дифференциал.
Если найти производную от ответа и привести выражение к общему знаменателю, то у нас получится в точности исходная подынтегральная функция 
. Рассмотренный метод разложения в сумму – есть ни что иное, как обратное действие к приведению выражения к общему знаменателю.
Алгоритм подбора числителя в подобных примерах лучше выполнять на черновике. При некоторых навыках будет получаться и мысленно. Припоминаю рекордный случай, когда я выполнял подбор для 11-ой степени, и разложение числителя заняло почти две строчки Вёрда.
Помимо алгоритма подбора можно использовать деление столбиком многочлена на многочлен, но, боюсь, объяснения займут еще больше места, поэтому как-нибудь в другой раз.
Пример 4
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения.
