Простейшие операции с матрицами

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра автоматики у управления

 

Реферат

по дисциплине «математические основы теории систем»

 

 

Вариант № 1

 

 

Выполнил:

студен группы ЗИЭФ-326

Исламов А.Ф.

«___»___________________2014г.

 

Проверил:

Разнополов О. А.

«___»____________________2014г.

 

Челябинск 2014

Содержание

1 Введение ………………………………………………………………………3

2 Основная часть………………………………………………………………..5

2.1 Матрицы и линейные пространства …………………………………......5

2.1.2 основные типы матриц ……………………………………………..6

2.1.3 Простейшие операции с матрицами.………………………………8

2.2 Устойчивость систем управления………………………………………...10

2.2.1Определение и условия устойчивости……………………………...10

2.2.2 Основное условие устойчивости…………………………………...12

2.2.3 Необходимое условие устойчивости…………………………….…14

2.2.4 Определение области устойчивости………………………………..16

 

 

Введение.

Что такое дискретная математика? Какими признаками характеризуются входящие в нее разделы? Хотя в целом границы, определяющие дискретную математику,в значительной степени являются условными, все же можно указать признак, позволяющий достаточно четко разделить всю современную математику на две состав- ляющие. Суть этого признака заключена в самом названии «дискретная математика», где дискретность выступает как противоположность непрерывности, обозначающая отсутствие понятия предельного перехода. С этой точки зрения в дискретную математику могут быть включены такие разделы, как теория множеств, теория дискретных автоматов, математическая логика, теория графов и сетей, комбинаторика, векторная и матричная алгебры, теория чисел, теория конечных групп, колец и полей, теория алгебраических систем и многие другие. С позиций «чистой» математики среди этих разделов нет второстепенных. С прикладной же точки зрения не все разделы одинаково важны. Это обстоятельство накладывает определенные ограничения на подбор материала для учебного пособия, чтобы не слишком обременять студентов избыточной информацией, особенно на начальном этапе знакомства с элементами дискретной математики. Данное пособие предназначено не для математиков, оно ориентировано на студентов, обучающихся в технических вузах и техникумах, в учебных программах которых предусмотрены предметы, связанные с электроникой, информатикой и вычислительной техникой. В связи с этим в пособие включены разделы дискретной математики, имеющие прямое отношение к электронике, вычислительной технике и информатике: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Эти разделы отличаются наиболее яркой прикладной ориентацией. Их вполне можно рассматривать как общеобразовательные дисциплины, составляющие минимум, обязательный для каждого, кто впервые приступает к изучению основ дискретной математики с целью применения полученных сведений в своей практической деятельности. Пособие состоит из двух частей. Первая часть в основном является теоретической. В нее входит теория множеств и булева алгебра (алгебра логики). Теория множеств представлена как вводно-ознакомительный курс. Он рассчитан на 8 лекционных часов и 6–8 часов практических занятий. При самостоятельном изучении потребуется до 20 часов, если считать обязательным выполнение 25 % всех упражнений. Наибольшее внимание в пособии уделено булевой алгебре — важнейшему разделу современной математики. Во-первых, булева алгебра является фундаментом всех без исключения информационных технологий. Во-вторых, с ее помощью решаются самые разнообразные логические задачи (о беспорядках, о расписании, о нахождении всех трансверсалей и др.). В третьих, она находит широчайшее применение в технических областях (логический синтез контактных структур, комбинационных и многотактных электронных схем, их минимизация, анализ работы и др.). Даже с чисто эстетической точки зрения ей нет равных: это самая «красивая» из всех наук современности. В пособии булева алгебра представлена 10 главами. Некоторые из них по содержанию освещены достаточно полно, другие же являются лишь вводно-ознакомительными (подобно разделу «Теория множеств»), носящими пропедевтический характер (пропедевтика — введение в какую-либо науку, подготовительный курс. От греч. propaideuō — предварительно обучаю). К ним относятся такие темы, как «Булево дифференциальное исчисление», «Булевы уравнения», «Пороговые функции» и др. Предполагается, что на основе полученных сведений по той или иной теме студент в дальнейшем при необходимости сможет самостоятельно глубже изучить соответствующие вопросы, обратившись к специальной литературе.

 

 

Целью настоящей главы является дополнительное знакомство с математическим аппаратом, необходимым для последующих глав. Вообще говоря, приводимые аналитические методы укладываются в рамки линейной алгебры. Точнее, предметом рассмотрения являются матрицы, определители, линейные векторные пространства, линейные преобразования, функции от матриц, а также задачи на собственные значения.

К указанным аналитическим методам при изучении систем приходится прибегать главным образом по той причине, что полное описание сложной системы требует большого количества информации. Эту информацию (которая может состоять из систем дифференциальных или разностных уравнений) удобно представлять при помощи матриц. Тогда анализ систем сводится большей частью к анализу свойств матриц. Применение быстро-дейстующих вычислительных машин сделало этот подход действенным.

Вопросы, заключенные в данную главу, ни в коей мере не исчерпывают обширный круг задач линейной алгебры. Более того, выбраны лишь вопросы, непосредственно относящиеся к изучению системы управления. В частности, особое значение имеют разделы, посвященные векторным пространствам и линейным преобразованиям. Так как надлежащий выбор системы координат позволяет проще выявить свойства системы, то в связи с этим представляет интерес нахождение линейного преобразования, приводящего к желаемой системе координат.

Проблема собственных значений является основой матричного анализа линейных систем. При использовании матриц для описания структуры системы их собственные значения (характеристические числа) характеризуют собственные частоты рассматриваемой системы. По-видимому, проблема собственных значений и вопросы о функциях от матриц — наиболее важные разделы настоящей главы.

 

Основная часть

2.1 Матрицы и линейные пространства

 

образует некоторое множество связей между переменными х₁, х₂,.... х_п и у, у₂, у_т - Эти связи, или линейное преоб­разование переменных х в переменные у, полностью характери­зуется упорядоченным набором коэффициентов а_{i j}. Если ука­занное множество коэффициентов обозначить через А и запи­сать в виде

 

то, как будет показано, посредством введения определения «произведение Ах» систему линейных уравнений можно записать как «Ах = у». Несомненно, приведенное выражение по виду зна­чительно проще, чем соответствующая система линейных урав­нений. Это одна из основных причин использования матриц. Матричное уравнение или система матричных уравнений со­держат в компактной форме большой объем информации. Если не прибегать к указанному компактному обозначению, то анализ системы линейных уравнений оказывается достаточно гро­моздким.

Рассмотрим теперь прямоугольную таблицу, составленную из упорядоченных элементов выражения. Элементами таблицы могут быть действительные или комплексные числа или функции от заданных переменных. Матрицей называется прямо­угольная таблица указанного вида, которая, в отличие от обыч­ной прямоугольной таблицы, подчиняется определенным прави­лам сложения, вычитания, умножения и равенства. Элементы матрицы а_11, а₁₂ ...а_{i j} записываются при помощи двойного индекса. Первый индекс указывает строку таблицы, на которой расположен элемент, а второй — ее столбец. Матрицы обозна­чаются¹ здесь жирными буквами А, В, а, b и т. д. или посред­ством написания общего элемента a _{i j}, заключенного в квадрат­ные скобки. Столбцы матрицы называются векторами столбцами, а строки матрицы — векторами-строками. Матрица, содержа­щая m строк и n столбцов, называется (m X n)-матрицей, или как говорят матрица порядка m на n. Квадратная матрица (m=n) является матрицей n-ого порядка.

 

Матрицы и линейные пространства

2.1.2 Основные типы матриц.

Матрица-столбец.

Матрица m*1 называется матрицей-столбцом или вектором – столбцом, т.к. она состоит из одного столбца и m строк

 

 

Матрица-строка.

 

 

Диагональная матрица

Единичная матрица

Нулевая матрица.

Все элементы, которой тождественно равны нулю

Транспонированная матрица.

Матрица у которой строки и столбцы поменяны местами, обозначается

как А^т .

i-го столбца матрицы А равен элементу i-й строки j-ro столбца А^т. Если А — матрица (m*n), то А^т — матрица (m*n).

Специальные типы матриц, (а) Симметрическая матрица. Квадратная матрица с действительными элементами называется симметрической, если она равна своей транспонированной, т. е. если

 

А = А^т или а_ij — a_ji (i j = 1,…,n).

 

Кососимметрическая матрица. Действительная квадратная матрица называется кососимметрической, если

 

А = — А^т или а_ij = — а_ji (i j = 1,..., n).

Отсюда, конечно, следует равенство нулю элементов, лежащих на главной диагонали.

 

Комплексно сопряженная матрица.

Если элементы матрицы А комплексные (а_ij= а_ij + iB_ij), то комплексно сопряженная матрица В содержит элементы B b _ij =. Это записывается в форме В = А*.

 

Сопряженная матрица.

Матрица, сопряженная по отношению к А, является транспонированой и комплексно сопряженной по отношению к А, т. е. равна (А*)^т.

 

Действительная матрица.

Если А = А*, то матрица является действительной.

 

Мнимая матрица.

Если А = —А*, то матрица А мнимая.

 

Эрмитова матрица.

Если матрица равна своей сопряженной, то она называется эрмитовой, т. е. если А=(А*)^т, то А — эрмитова матрица.

 

Косоэрмитова матрица.

Если А = — (А*)^т, то А — косоэрмитова матрица.

 

Простейшие операции с матрицами.

Сложение матриц.

Если матрицы А и В одного порядка (m*n), где m и n — два заданные (не обязательно различные) целые числа, то суммой этих двух матриц служит матрица С = А+В, элемент которой определяется как

 

cij = aij + bij.

Сложение матриц коммутативно и ассоциативно, т. е.

 

А + В = В + А (коммутативность),

А + (В + С) = (А + В) + С (ассоциативность).

 

Вычитание матриц.

Разность матриц одного порядка, скажем (m*n), где m и n — два заданные не обязательно различные целые числа, равна матрице D = A—В, элемент которой определяется как

 

dij — ciij b-ij. (4,2.3)

 

Пример 4.2.2. Вычислить разность указанных матриц.

 

Равенство матриц. Две матрицы А и В одинакового порядка равны, если равны их соответствующие элементы. Таким образом,

 

А= В

 

только и если только а ij = b ij.

 

Умножение матриц. Определение произведения двух матриц А и В непосредственно следует из аппарата линейных преобразований. Рассмотрим линейное преобразование

 

y₁= a₁₁x₁+a₁₂x₂

 

y₂ = a₂₁x₂+a₂₂x₂

 

Элементы у₁ и у₂ можно рассматривать как составляющие вектора у. Подобным образом x₁ и х₂ могут рассматриваться как составляющие вектора х. Тогда уравнение может трактоваться как преобразование матрицей А вектора х в вектор у. Это преобразование можно записать в виде

 

y = Ах,

 

где

 

 

Умножение транспонированных матриц.

Произведение двух транспонированных матриц В^т и А^т равно транспонированному произведению исходных матриц В и А, взятых в обратном порядке, т. е.

 

В^тА^т= (АВ)^т.

 

Это легко показать, транспонируя матрицу С = АВ. Общий элемент произведения АВ задается в виде

 

Умножение на диагональную матрицу.

Умножение справа матрицы А на диагональную матрицу D эквивалентно операции со столбами А. При умножении слева матрицы А на диагональную матрицу D операции производятся со строками А. Очевидно,, что умножение слева или справа, на единичную матрицу I не (изменяет исходную матрицу, т. е.

 

IА = АI=А.