Базис мн вект. Коорд вект. Теор о корд вект

Признаки коллинеарности векторов

1. 2 вектора колинеарны тогда и только тогда когда их векторное производ = 0 вектору. 2. Вектора А и В наз. Калинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Калинеарными могут быть одинакова или противоположно направлены.нулевой вектор считается любому вектору.

12. Признаки компланарности векторов. 3 вектора комплонарны тогда и только тогда когда их смешенное производ = 0. Если среди 3 векторов хотя бы один нулевой или два любые колинеарны, то такие векторы комплонарны. 3 вектора в прост наз. комплонарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

13.Теор о лин зав 4 вектар. 4 вектора всегда лин завис. Док. Если среди 4 вект. А,в,с,д есть 0; есть пара колин вект, либо 3 компл вект, то 4 вект явл лин завис. След исключаем все указан случаи и привед их векторы к общ началу. С=ОМ+МС ОМ=ОА+ОВ С=ОА+ОВ+МС ОАǁǁа ОА=£а ОВǁǁв ОВ=ßв МСǁǁд МС=ɤд С=£а+ßв+ɤд. ч.и.т.д.

Базис мн вект. Коорд вект. Теор о корд вект.

Определение. Если - базис в пространстве и , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.В связи с этим можно записать следующие свойства:

1)равные векторы имеют одинаковые координаты,

2)при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

= .

3)при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

; ;

+ = .

Теорема. Если А(x1,y1,z1),В(x2,y2,z2) то AB(x2-x1, y2-y1,z2-z1) другими сл чтобы найти корд вект нужно от корд конца отнять соотв корд начала. Док.

Из усл след что ОА=(x1,y1,z1), а ОВ=(x2,y2,z2) очевидно что ОВ=ОА+АВ след АВ=ОВ-ОА след АВ= (x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)= (x2-x1, y2-y1,z2-z1).

15.Базис прямой,плоскости, простр. Опр. 1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.3) Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор. См 14 вопрос.

16.Сист корд. Коорд точки. Система координат.

Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса Декартова система координат.

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.Вектор назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора. Опр. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс 2-я ось – ось ординат 3-я ось – ось апликат

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁).

Опр. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице. Опр. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат. Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ/l, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:x = (x₁ + x₂)/2; y = (y₁ + y₂)/2;

z = (z₁ + z₂)/2.

17.Выч корд вект АВ через корд т А и В. Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ/l, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:x = (x₁ + x₂)/2; y = (y₁ + y₂)/2;

z = (z₁ + z₂)/2.

18.Задача о делении отрезка в данном отношении. Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки А (х; у) и В(х₂;у₂) в заданном отношении Л > 0, т.е. найти координаты точки М(х;у) отрезка АВ такой, что AM/MB = Л. Решение: Введем в рассмотрение векторы АМ и МВ. Точка М делит отрезок АВ в отношении Л, если АМ = Л * МВ. Но АМ = {х – х₁; у – у₁), т. е. АМ = (х – х₂)i+ (у – y₁) j и МВ = (х₂ – x; у₂ - у), т. е. МВ = (х₂ — х)i + (у₂ - у) j - Уравнение принимеaт вид (х – х₁)i + {у-у₁)j = Л(x₂ - х)i + Л (у₂ - у)j. Учитывая, что равные векторы имеют равные координа­ты, получаем 1) x-x₁=Лx₂-Лx, 2)y-y₁=Лy₂-Лy. Формулы называются формулами деления от­резка в данном отношении. В частности, при Л = 1, т. е. если АМ = МВ, то они примут вид x= , y= . В этом случае точка М (х; у) является серединой отрезка АВ.

19.Проекция вектора на ось. Формула выч проек. Прямая с задан полож напр наз осью. L

Опр. Проек в А на ось l наз т пересеч оси l с перпенд ей плоск переход через т А. Опр. Проек АВ на ось l наз число равное ǁА’ǁǁB’ǁ взята полож, если вект А’B’ совпод с направл оси, и со знаком -, если напр А’B’ против с напр оси, где А’B’ – проекц т А и В соотв т.е проекц вект АВ на ось = l. Теорема. Проекц а на ось вычисл по форм прla=ǁaǁcosα, α-угол между а и осью. Док. АВ=а

прla=ǁА’B’ǁ=ǁАСǁ. Треуг АВС прямоуг. Угол С=90 АС-катет АВ-гипот. ǁАСǁ=ǁ АВǁ =ǁаǁ след прla=ǁАСǁ= ǁаǁ .

20.Теор о связи прямоуг корд вектора и проекц на корд оси. Следств. Теорема. В прямоуг декарт сист корд корд произв вект d=(x,y,z) = проекц этого вект на соотв корд оси т.е x=прOXd, y=прOYd, z=прOZd. Док. Очевидно OD=d=OM+MD OM=OA+OB MD=OC d=OA+OB+OC OAǁǁl зн OA=ƛi ǁOAǁ=ǁƛǁǁiǁ=ǁƛǁ=ƛ ƛ=ǁOAǁ OA=ƛi=ǁOAǁi ǁOAǁ=прOXd OA↑↓I то ƛ<0 ǁƛǁ=-ƛ ƛ=-ǁOAǁ OA=прOXdi анолог OB,OC след d=OA+OB+OC=прOXdi+прOYdj+прOZdr т.к корд вект наз коэф разлож вект по базису то d=(прOxd,прOYd,прOzd), т.к корд вект опред однозн в данном базисе то….

След1. ǁdǁ=(x,y,z)=

След2. .

След3. Если αßɤ-углы обр d=(x,y,z) с соотв осями корд то cosα= cosß= cosɤ=

Cosα,cosß,cosɤ - наз направл cosd.

21.Линейн св-ва проекц. Теорема. Для любого А и В проекц их суммы = сумме проекц слагаем и проекц произв вект на число = числу умнож на проекц вект. Прl(a+b)=прla+прlb прlƛ(a)=ƛпрla Док. Возьмём прямоуг сист корд в котор OX совпод с Ol. Пусть a=(x1,y1,z1) b=(x2,y2,z2) корд вект = проекц его на корд оси т.е x1=прOXa=прla x2=прOX=прlb при слож вект их соотв корд склад a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) x1+x2=прla+прlb.

22.Коорд суммы вект и вектора ƛа. Или см 21 вопрос. Координаты вектора суммы двух векторов удовлетворяют соотношениям:

и Вектор суммы двух векторов:

Координаты вектора суммы нескольких векторов удовлетворяют соотношениям:

Сумма нескольких векторов:

23.Формула для вычисл модуля вектора. Длина направленного отрезка, изо­бражающего вектор, называется длиной, или модулем, вектора. Длина вектора обозначается

24.Направляющ косинусы вект, их св-ва. Сумма кв напр cosd=1т.е cosквα+cosквß+cosквɤ=1. Если αßɤ-углы обр d=(x,y,z) с соотв осями корд то cosα= cosß= cosɤ=

Cosα,cosß,cosɤ - наз направл cosd.см 21 вопр.

25. Скалярн произв вект. Его св-ва. Вычисл в корд. Опр. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ï ïï ïcosj

Свойства скалярного произведения:

1) × = ï ï²;

2) × = 0, если ^ или = 0 или = 0.

3) × = × ;

4) ×( + ) = × + × ;

5) (m )× = ×(m ) = m( × );

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то × = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b; Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

;

Угол между векторами.

Определения угла _ᵠ между нулевыми векторами a=(a_x; a_e; a_z) b=(b_x;b_y;b_z)

CosV= т.е. cosV=

Отсюда следует пенпердикулярность векторов а и b.а_┴в

27.Услов ортог двух вект. 2 вект ортоган т.и.т.т когда их скалярн произв =0. Док. 1неох. а┴b α=(a,b)=90 cos90=0 ab=ǁaǁǁbǁcos90=0 2дост. Ab=0 если 1 из вект 0 то a и b –ортог, поэт пусть a и b не нулев. ǁaǁ≠0≠ǁbǁ тогда ǁaǁǁbǁcosα=0 зн cosα=0 α=90 зн a┴b.

28.Правые и лев тройки вект. Пусть задана тройка (a,b,c) некомпл вект. Отложим эти вект от некот т О, т.е построим соотв направл отрезки ОА,ОВ, ОС. Если кратч поворот вокруг т О от отрезка ОА к отр ОВ, наблюд из т С, соверш против час стр, то тройка наз правой. В против случае эта тройка – левая.

29.Векторн произв двух вект. Его св-ва. Опр. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:1) , где j - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и 3) , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается: или .

Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) , если ïï или = 0 или = 0;

3) (m )´ = ´(m ) = m( ´ );

4) ´( + ) = ´ + ´ ;

5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

´ =

6.Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

30. Вычисл прощ параллел и треуг. S параллел постр на a и b привед к общ началу = ǁa bǁ.

S=ǁaǁǁbǁsinα=ǁa bǁ Следств. S постр на a и b привед к общ началу = половине модуля их вект произв. S= ǁa bǁ.

31.Усл коллин двух вект. 2 вект коллин т.и.т.т.к их вект произв =0.

aǁǁb a b=0 Док. 1необ. aǁǁb после привед коллин вект к общ началу они лежат на одной прямой. При этом возможно 2 сл:1)a↑↑b 2)a↑↓b

Соотв α=0 или α=180 sin0=sin180=0 ǁa bǁ=ǁaǁǁbǁsinα=0 a b=0 2дост.

a b=0 если один из них 0 то aǁǁb по опр. ǁaǁ≠0≠ǁbǁ т.к ǁa bǁ=ǁaǁǁbǁsinα=0 то сущ ед возм что sinα=0 α=0 или α=180 но в этом сл aǁǁb.

32.Выч векторн произв в корд. Если a(x1,y1,z1) b(x2,y2,z2) то a b = через опр 3-го порядка формула.

´ =

33.Смеш произв трёх вект. Опр. Смеш произв вект , и наз число, равное скалярному произв вект на вектор, равный векторному произв векторов и .Обозн или (, , ).

Смеш произв по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Свойствасмешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а)хоть один из векторов равен нулю;

б)два из векторов коллинеарны;

в)векторы компланарны.

2)

3)

4)

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен

6)Если , , то

34.Призн компл трёх вект. 3 вектора комплан т.и.т.т.к их смешан произв =0.

35.Выч объёма параллел и тетраэдра. V тетр abc привед к общ началу =Vтетр= ǁabcǁ.

Смешан произв abc= Vпараллелеп постр на abc прив к общ началу взятому со зн + если abc явл правой и со зн – если abc явл левой. Док.

Abc=(a b)c=dc, где d=a b ǁnǁ=1 d↑↑n зн d=ƛn ǁdǁ=ǁƛǁǁnǁ=ƛ=ǁa bǁ=S ƛ=S d=Sn abc=dc=Snc=Sǁnǁǁcǁcosα=Sǁcǁ* *cosα=SпрNc=Sh=V.

доSh) прNс=-ǁOMǁ=-h abc=SпрNc= S(-h)=-V. След1. V паралл постр на вект abc прив к общ началу = модулю смешан произв V=ǁabcǁ. След2. Смеш произ abc полож т.и.т.т.к 3 вект явл прав и соотв отриц – лев.

36.Выч смеш произв в корд. Если a(x1,y1,z1) b(x2,y2,z2) c(x3,y3,z3) то их смеш произв = опр 3-го порядка сост из соотв корд данных вект.

Abc=

38. Понятие матрицы. Виды матрицы. Опр. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, наз табл чисел, расположенных в опр порядке. Эти числа наз эл матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересеч которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Опр. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Опр. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Опр. Если a_mn = a_nm, то матрица называется симметрической.

Опр. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

39.Слож матриц и умн на число. Опр. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.c_ij = a_ij ± b_ij Св-ва. 1)комут. 2)ассоц. 3)А+0=А 4)А+(-А)=0. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Св-ва. 1*А=А 2)….

40. Свойства линейных операций. 1. а + b = b+ а,

2. (а + b) + с = а + (b + с),

3. А₁ • (А₂ ■ а) = A₁ ■ A₂ ■ а,

4. (А1 + А2) • а = А₁ • а + А₂ • а,

5. А • (а + b) = А ■ а + А • b.

41.Произв матр. Св-ва произв. Опр: Произв матриц наз матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Св-ва. 1) не коммутативно, т.е.

АВ ¹ ВА

2) ассоциативна, (АВ)С=А(ВС).

3) дистрибутивна

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) кв матрицыА×Е = Е×А =А

42. Понятие опр кв матрицы. Опр. Определителем квадратной матрицы А= наз число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле: det A = , где

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Для указанной матрицы А число М_1к наз дополн минором элемента матрицы a_1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах. Опр. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a_ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

43.Св-ва опридел. Св-во1. Важным свойством определителей является следующее соотношение: det A = det A^T; 2. det (A ± B) = det A ± det B.

3. det (AB) = detA×detB

4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

44.Обратн матр. Теорема о сущ обр матр. Опр. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.. св-ва. 1)ǁAA^-1ǁ=ǁAǁǁA^-1ǁ=ǁEǁ 2) (AB)^-1 = B^-1A^-1 3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Теорема. Для того чтобы кВ м А имела обр необх и дост чтобы опред этой м был отличен от нуля, при этом обр м опред след выраж.

А^-1= Док.

Для А сущ обр А^-1 такая что А*А^-1=Е использ св-ва 2. Очевидно что

ǁЕǁ= =1 ǁАǁǁА^-1ǁ=1 т.к произв 2 чисел =1. То ни один со мн≠0 т.е ǁАǁ≠0 ǁА^-1ǁ≠0 т.е если м имеет обр то её опред всегда отлич от 0.

45.Ранг матрицы. Опр. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок. Опр. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы. Опр. Матрицы, полученные в результате элементарного преобр, называются эквивалентными. Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

46.Методы нахожд ранга матр. 1) Перестановка местами 2 параллельных рядов матрицы.

2)Умножение элементов ряда матрицы на число отличное от нуля, отличное от нуля.

3)Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

47.Теор о базисн миноре. Её следствия.Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.Т.о, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице. Док. След1. Ранг м А= макс числу лин незав строк этой матр. След2. Опред кВ м А=0 т.и.т.т.к строки лин зав.