1. Основные понятия и утверждения
Теорема 5.1 (достаточное условие существования интеграла от функции комплексного переменного). Пусть L – простая гладкая кривая на 
, f (z)= u (x; y)+ i×v (x; y) непрерывна на L. Тогда существует 
, причем справедливо равенство:
. (5.1)
Теорема 5.2. Пусть L – простая гладкая кривая, заданная параметрически: L: z (t)= x (t)+ i×y (t), a £ t £ b, функция f (z) непрерывна на L. Тогда справедливо равенство:
(где 
). (5.2)
Теорема 5.3. Если f (z) аналитическая в области D функция, то 
- аналитическая функция и F' (z)= f (z), где интеграл берётся по любой кусочно-гладкой кривой, соединяющей точки z 0 и z.
- формула Ньютона-Лейбница.
2. Способы вычисления интеграла 
Первый способ. Вычисление интегралов от непрерывной функции путем сведения к криволинейным интегралам от функций действительных переменных (применение формулы (5.1)).
1. Найти Re f = u, Im f = v.
2. Записать подынтегральное выражение f (z) dz в виде произведения (u + iv)(dx + idy)= udx-vdy + i (udy + vdx).
3. Вычислить криволинейные интегралы вида 
по правилам вычисления криволинейных интегралов второго рода.
Пример 5.1. Вычислить 
по параболе y=x 2 от точки z 1=0 до точки z 2=1+ i.
■ Найдем действительную и мнимую части подынтегральной функции. Для этого подставим в выражение для f (z) z=x+iy:
Тогда 
Так как y=x 2, то dy= 2 x, 
. Поэтому
. ■
Второй способ. Вычисление интегралов от непрерывной функции путем сведения к определенному интегралу в случае параметрического задания пути интегрирования (применение формулы (5.2)).
1. Записать параметрическое уравнение кривой z = z (t) и определить пределы интегрирования: t=a соответствует начальной точке пути интегрирования, t=b - конечной.
2. Найти дифференциал комплекснозначной функции z (t): dz = z ¢(t) dt.
3. Подставить z (t) в подынтегральное выражение, преобразовать интеграл к виду: 
.
4. Вычислить полученный определенный интеграл.
Пример 5.2. Вычислить 
, где С - дуга окружности 
, 
.
■ Параметрическое уравнение данной кривой: 
, 0£ j £ p. Тогда 
. Получаем
. ■
Пример 5.3. Вычислить 
, где С – верхняя дуга окружности при условии: а) 
,б) 
.
■ Задание значений функции 
в контуре интегрирования позволяет выделить однозначные ветви выражения 
, k= 0,1. Так как при 
имеем 
, k= 0,1,то в первом случае выделяем ветвь с k= 0, а во втором – с k= 1.
Подынтегральная функция на контуре интегрирования непрерывна. Параметрическое уравнение данной кривой: , 0£ j £ p. Тогда 
.
а) Ветвь определяется при k= 0, то есть из получаем 
.
.
б) Ветвь определяется при k =1, то есть из получаем 
.
. ■
Третий способ. Вычисление интегралов от аналитических функций в односвязных областях (применение формулы (5.3)).
Найти первообразную F (z), используя свойства интегралов, табличные интегралы и методы, известные из действительного анализа. Применить формулу Ньютона-Лейбница: 
.
Пример 5.4. Вычислить 
, где С – прямая АВ, zА =1 -i, zВ =2 +i.
■ Так как подынтегральная функция 
- аналитическая на всей комплексной плоскости, то применим формулу Ньютона-Лейбница
. ■
3. Основные теоремы интегрального исчисления
функций комплексного переменного
Теорема 5.4 (Коши). Если f (z) аналитическая в односвязной области G функция, то 
, где L - любой замкнутый контур, лежащий в G.
Теорема Коши имеет место и для многосвязной области.
Теорема 5.5. Пусть функция f (z) аналитическая в односвязной области D, L -произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур, лежащий в D. Тогда для любой точки z 0, лежащей внутри контура L, справедлива формула:
, (5.4)
где L обходится в положительном направлении.
Формула (5.4) называется интегральной формулой Коши. Она выражает значения аналитической функции внутри контура через её значения на контуре.
Теорема 5.6. Всякая функция f (z), аналитическая в области D, имеет производные всех порядков на этой области, и для " z 0Î D справедлива формула:
, (5.5)
где L – произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в D и содержащий внутри себя точку z 0.
4.Вычисление интегралов по замкнутому контуру
от функций комплексного переменного
Рассмотрим интегралы вида 
, где функция j (z) аналитическая в 
, а y (z) – многочлен, не имеющий нулей на замкнутом контуре С.
Правило. При вычислении интегралов вида в зависимости от кратности нулей многочлена y (z) и их расположения относительно контура С можно выделить 4 случая.
1. В области D нет нулей многочлена y (z). Тогда функция 
аналитическая и по теореме Коши 
.
2. В области D расположен один простой нуль z=z 0 многочлена y (z). Тогда записываем дробь в виде 
, где f (z) – функция аналитическая в Применяя интегральную формулу Коши (5.4), получаем
. (5.6)
3. В области D расположен один кратный нуль z=z 0 многочлена y (z) (кратности n). Тогда записываем дробь в виде 
, где f (z) – функция аналитическая в Применяя формулу (5.5), получаем
. (5.7)
4. В области D расположены два нуля многочлена y (z) z=z 1 и z=z 2. Тогда подынтегральную функцию представляем в виде суммы двух дробей, а интеграл в виде суммы двух интегралов, каждый из которых вычисляем в соответствии с п.2 или п.3.
Пример 5.5. Вычислить 
, где С – окружность 
.
■ Находим нули знаменателя – особые точки подынтегральной функции 
. Это точки 
. Далее определяем расположение точек относительно контура интегрирования: ни одна из точек не входит в область, ограниченную окружностью с центром в точке 
и радиусом 2 (то есть имеем первый случай). В этом можно убедиться, выполнив чертёж или определив расстояние от каждой из точек до центра круга и сравнив с величиной радиуса. Например, для 
, поэтому не принадлежит кругу.
Тогда функция 
аналитическая в круге 
, и по теореме Коши 
.
Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входит ни один из нулей знаменателя. ■
Пример 5.6. Вычислить , где С – окружность 
.
■ Рассуждая, как в примере 5.5, находим, что в круге 
расположен только один из нулей знаменателя (второй случай). Поэтому записываем подынтегральную функцию в виде 
, функция 
аналитическая в круге . Тогда по формуле (5.6)
.■
Пример 5.7. Вычислить 
, где С – окружность 
.
■ Находим нули знаменателя – особые точки подынтегральной функции 
. Это точки 
. В области 
расположен один нуль 
кратности 2многочлена 
(третий случай). Поэтому записываем подынтегральную функцию в виде 
, функция 
аналитическая в . Тогда по формуле (5.7):
. ■
Пример 5.8. Вычислить 
, где С – окружность 
.
■ В области, ограниченной окружностью с центром в точке 2 радиуса 5, имеем две точки z =0и z =6, в которых знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль (четвертый случай) (четвертый случай). Непосредственно применить формулу (5.6) нельзя. Разложим дробь 
на сумму простейших: 
.
Подставляя в интеграл, получим
.
Каждый из интегралов в правой части, вычисляем по формуле (5.6). В каждом случае 
- аналитическая во всей комплексной плоскости функция.
. ■
