Второе правило замены переменной

Тема. Вычисление первообразных. Метод замены переменной в подынтегральном выражении.

Занятие 5.

Рассмотрим дифференциал функции : . Если является первообразной для функции , то . Первообразная функция для функции обозначается символом . Операция нахождения первообразной называется неопределённым интегрированием. Следующие записи эквивалентны

. (5.1)

При вычислении неопределённого интеграла используются свойства:

1) .

2) инвариантности интегрирования:

Если , то ,где любая дифференцируемая переменная, а также правила интегрирования:

(5.2)

Для проверки правильности полученного результата используют свойство

(5.3)

Пример 1. Проверим правильность формул

; ;

Решение. Используем свойство (5.1)

Свойства (5.1),(5.3) показывают нам, что операции дифференцирования и неопределённого интегрирования являются взаимно обратными с точностью до произвольной постоянной.

Практически любой метод неопределённого интегрирования заключается в следующем. Используя свойства и правила интегрирования, мы преобразуем интеграл к известному табличному интегралу.

Существует три основных метода интегрирования

Метод замены переменной интегрирования в неопределённом интеграле

Постановка задачи. Пусть задана функция . Требуется найти первообразную функцию такую, что .

Первое правило замены переменной. Прямая замена. Требуется найти .

Заменяем переменную интегрирования по правилу .

Имеем . Допустим, что замена такова,

что неопределённый интеграл известен и равен , то есть

Обращая равенство , получаем и записываем ответ .

Пример 2. Найти первообразные функции

Решение. Решаем 1). Чтобы подынтегральное выражение упростилось, положим .

Тогда

Таким образом

Чтобы получить ответ нужно вернуться от переменной к старой переменной

Откуда

Проверка полученного результата

Или ;

Решаем 2). Чтобы подынтегральное выражение упростилось, положим .

Тогда

Таким образом

Чтобы получить ответ нужно вернуться от переменной к старой переменной

Откуда

Проверка полученного результата

Второе правило замены переменной.

Пусть требуется вычислить интеграл . Если можно разложить подынтегральную функцию на два множителя , то

Если известно, что то

Чтобы получить ответ нужно вернуться от переменной к старой переменной

.

Пример 3. Найти неопределённые интегралы

Решение. Решаем 1). Разлагаем подынтегральную функцию на два сомножителя . Тогда подынтегральное выражениебудет равно

. Производим замену переменной по правилу

и в результате получаем

возвращаясь к старой переменной, записываем ответ

Проверка полученного результата:

Решаем 2). Разлагаем подынтегральную функцию на два сомножителя . Тогда подынтегральное выражениебудет равно

. Производим замену переменной по правилу

и в результате получаем ;

Возвращаясь к старой переменной, записываем ответ

Решаем 2). Разлагаем подынтегральную функцию на два сомножителя . Тогда подынтегральное выражениебудет равно

. Производим замену переменной по правилу

и в результате получаем ;

Возвращаясь к старой переменной, записываем ответ